[논문 리뷰] Classical geodesics from the canonical quantisation of spacetime coordinates

Iñaki Garay, Salvador Robles-Pérez|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 16.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 시공간 좌표의 표준 양자화를 제안하며, 이 과정을 통해 유도된 양자 클라인-고르곤 방정식에서 고전적 지선이 도출됨을 보여준다. 시공간의 메트릭 $ g_{\mu\nu} $ 에 대한 지선을, 효과적 포텐셜 $ \tilde{V}(x) $ 를 가진 등각적으로 관련된 시공간에서의 비첨가 지선으로 연결하는 일반화된 마포르티우스 원리를 통해, 저자들은 고전적 지선 방정식과 뉴턴 한계에서 슈뢰딩거 방정식을 모두 복원하며, 양자장론, 일반 상대성 이론, 비상대론적 양자역학을 하나의 프레임워크 아래 통합한다.

ABSTRACT

A canonical quantisation of the coordinates of the spacetime within the general relativity theory is proposed. This quantisation will depend on the observer but it provides an interesting perspective on the problem of relating the non-relativistic and classical limits of a possible quantum gravity theory. In this sense, within this formalism, it is possible to recover from the quantum equation satisfied by a test field the classical geodesics of the corresponding spacetime. On the other hand, the Schrödinger equation is recovered in the Newtonian limit. A key ingredient for this procedure is a generalization of the Maupertuis principle, that is, the possibility of describing the geodesics of a given metric as the non-affine geodesics of other conformal metric under the action of a potential.

연구 동기 및 목표

• 관찰자에 따라 달라지는 일반 상대성 이론 내 시공간 좌표의 표준 양자화를 탐색하여 양자 중력 이론으로의 다리를 놓는다.
• 이 양자화 절차를 통해 유도된 양자 클라인-고르곤 방정식으로부터 고전적 지선이 어떻게 복원되는지 보여준다.
• 일반화된 형식으로 고전적, 양자적, 비상대론적 한계에서 중력장과 물질장의 통합을 이루는 것을 목표로 한다.
• 양자화된 시공간의 뉴턴 한계가 메트릭의 시간 성분에서 유도된 포텐셜을 가진 슈뢰딩거 방정식을 도출함을 보여준다.

제안 방법

• 재매개변수화 불변 작용을 사용하여 시공간 좌표에 표준 양자화를 적용함으로써, 클라인-고르곤 형식의 방정식을 생성하는 해밀토니안 제약 조건을 도출한다.
• 일반화된 마포르티우스 원리를 활용하여 메트릭 $ g_{\mu\nu} $ 를 가진 시공간의 지선을 효과적 포텐셜 $ \tilde{V}(x) $ 를 가진 등각적으로 관련된 시공간에서의 비첨가 지선으로 매핑한다.
• 표준 양자화를 통해 유도된 $ \hbar $-의존 계수를 가진 클라인-고르곤 방정식을 만족하는 양자 파동함수 $ \phi $ 를 구성한다.
• $ \hbar $ 의 거듭제곱에 대한 반고전적 전개를 수행하며, 영차항이 시공간의 고전적 지선 방정식을 재현함을 보여준다.
• $ \hbar \to 0 $ 으로 간주하고 효과적 포텐셜 $ \tilde{V}(x) $ 를 식별함으로써 뉴턴 한계를 도출하며, 곡률이 있는 공간에서의 슈뢰딩거 방정식을 유도한다.
• 정적 좌표계에서의 데 시터 시공간에 이 형식을 적용하여, 지선이 곡률이 있는 3차원 공간에서 중심 포텐셜에 의한 운동과 대응됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡률이 있는 시공간에서의 고전적 지선은 시공간 좌표의 표준 양자화를 통해 유도된 양자 방정식에서 유도될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 마포르티우스 원리는 주어진 시공간의 지선을 효과적 포텐셜이 있는 등각적으로 관련된 시공간의 궤적과 어떻게 연결하는가?
• RQ3 시공간 좌표의 표준 양자화가 비상대론적 한계에서 슈뢰딩거 방정식을 도출하는가?
• RQ4 데 시터 시공간에서의 번치-데이비스 진공 상태를 사용하여 고전적 지선 방정식을 복원할 수 있는가?
• RQ5 클라인-고르곤 방정식에 $ \hbar $ 를 포함함으로써 고전적 및 비상대론적 한계를 어떻게 복원할 수 있는가?

주요 결과

• $ \hbar $-전개의 영차항이 시공간의 고전적 지선 방정식을 만족함을 보여주며, 고전적 궤적이 양자 시공간 좌표에서 유도됨을 입증한다.
• 정적 좌표계에서의 데 시터 시공간에서의 지선 방정식이 양자화된 시공간 좌표의 번치-데이비스 진공 상태로부터 복원됨을 보여주며, 이 형식의 일관성을 확인한다.
• 양자화된 시공간의 뉴턴 한계는 메트릭의 시간 성분에서 유도된 포텐셜 $ \tilde{V}(x) $ 를 가진 슈뢰딩거 방정식을 도출하며, 기대되는 비상대론적 역학과 일치한다.
• 일반화된 마포르티우스 원리는 곡률이 있는 시공간에서의 지선을 효과적 포텐셜이 있는 등각적으로 관련된 시공간에서의 비첨가 지선으로 기하학적으로 기술할 수 있게 하며, 고전적 및 양자적 기술 간의 기하학적 통합을 제공한다.
• 표준 양자화를 통해 유도된 클라인-고르곤 방정식은 물질장과 시공간 기하학에 대한 정보를 모두 담고 있으며, 지선 방정식이 $ \hbar $-의존 계수에 암묵적으로 포함되어 있음을 보여준다.
• 이 형식은 고전적 한계(지선), 양자적 한계(클라인-고르곤), 비상대론적 한계(슈뢰딩거 방정식)를 성공적으로 통합하며, 모든 영역에서 일관성을 보여준다.