[논문 리뷰] Classical shadows based on locally-entangled measurements

Matteo Ippoliti|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤화된 국소적으로 얽힌 측정(특히 벨 및 고즈 기저)을 기반으로 한 고전적 샤로우를 소개하며, 파울리 기대값을 추정하기 위한 표본 복잡도를 감소시킴을 보여준다. 측정 기저에서 얽힘 정도를 조절함으로써, 많은 연산자에 대해 표본 복잡도를 제곱근 수준으로 향상시켜(약 3ᵏ에서 약 3ᵏ/²로) 표준 파울리 샤로우를 능가하고, 특정 작업에서는 얕은 샤로우와 동등하거나 그 이상의 성능을 달성한다.

ABSTRACT

We study classical shadows protocols based on randomized measurements in $n$-qubit entangled bases, generalizing the random Pauli measurement protocol ($n = 1$). We show that entangled measurements ($n\geq 2$) enable nontrivial and potentially advantageous trade-offs in the sample complexity of learning Pauli expectation values. This is sharply illustrated by shadows based on two-qubit Bell measurements: the scaling of sample complexity with Pauli weight $k$ improves quadratically (from $\sim 3^k$ down to $\sim 3^{k/2}$) for many operators, while others become impossible to learn. Tuning the amount of entanglement in the measurement bases defines a family of protocols that interpolate between Pauli and Bell shadows, retaining some of the benefits of both. For large $n$, we show that randomized measurements in $n$-qubit GHZ bases further improve the best scaling to $\sim (3/2)^k$, albeit on an increasingly restricted set of operators. Despite their simplicity and lower hardware requirements, these protocols can match or outperform recently-introduced "shallow shadows" in some practically-relevant Pauli estimation tasks.

연구 동기 및 목표

• 파울리 기대값을 추정하기 위한 표본 복잡도를 향상시키는 랜덤화된 얽힌 측정 기반 고전적 샤로우 프로토콜의 가족을 개발하는 것.
• 양자 상태 학습에서 측정 국소성, 얽힘, 표본 효율성 간의 상호 상충 관계를 탐색하는 것.
• 하드웨어 효율적인 소수의 얽힌 측정을 통해 더 복잡한 얕은 샤로우 프로토콜의 성능을 따라하거나 능가할 수 있음을 보여주는 것.
• 특정 유형의 연산자에 대해 향상된 스케일링을 가능하게 하면서도 저수준의 하드웨어 요구 조건을 유지하는 구조적 측정 집합을 식별하는 것.

제안 방법

• 프로토콜은 n-qubit 얽힌 기저(예: 벨 또는 고즈 상태)를 기반으로 한 랜덤화된 유니터리 변환을 사용하여 측정을 수행하며, 표준 파울리 샤로우 프레임워크를 일반화한다.
• 각 측정 기저는 큐비트를 국소적으로 얽히게 하는 유니터리 집합에서 선택되며, 기저의 선택에 따라 얽힘 정도를 조절할 수 있다.
• 고전적 후처리 단계에서 샤로우 채널을 통해 반전된 스냅샷을 구성하며, 샤로우 노름은 측정 채널의 고유값의 역수로부터 유도된다.
• 무게 k인 파울리 연산자 P에 대해 샤로우 노름은 벨 측정의 경우 ‖P‖_sh² = 3ᵏ/², 고즈 측정의 경우 (3/2)ᵏ로 계산되며, 이는 향상된 스케일링을 반영한다.
• 측정 집합의 파울리 불변성을 활용하여 연산자에 따라 표본 복잡도의 경계를 도출한다.
• 프로토콜은 파울리 샤로우(n=1)와 고즈 샤로우(n가 큰 경우) 사이를 보간하며, 중간 단계의 프로토콜은 성능과 연산자 커버리지 사이의 조절 가능한 트레이드오프를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 파울리 샤로우에 비해 엔트로피 기반 측정 기저에서의 랜덤화된 측정이 파울리 기대값 추정의 표본 복잡도를 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 측정 기저에서의 얽힘 정도가 표본 복잡도와 학습 가능한 연산자 집합 간의 상호 상충 관계에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 실제 파울리 추정 작업에서 국소적으로 얽힌 샤로우가 얕은 샤로우를 얼마나 능가할 수 있는가?
• RQ4 엔트로피 기반 측정 프로토콜 하에서 다양한 유형의 파울리 연산자에 대해 표본 복잡도의 최적 스케일링은 무엇인가?

주요 결과

• 벨 기반 고전적 샤로우는 k-무게 파울리 연산자의 기대값 추정에 대해 표본 복잡도를 약 3ᵏ에서 약 3ᵏ/²로 감소시켜 제곱근 수준의 향상을 달성한다.
• 고즈 기반 샤로우는 큰 n에 대해 스케일링을 약 (3/2)ᵏ로 추가로 향상시키지만, 이는 고즈 기저의 구조에 맞는 제한된 연산자 집합에 대해서만 해당된다.
• 이중 큐비트 벨 측정을 사용하는 프로토콜은 단지 이중 큐비트 얽힘 게이트만 필요로 하므로 하드웨어 효율적이며, 표본 복잡도 감소에 있어 뚜렷한 효과를 발휘한다.
• 특정 유형의 연산자—특히 1차원에서 연속된 지원을 가지는 것들—에 대해서는 국소적으로 얽힌 샤로우가 표본 효율성 측면에서 얕은 샤로우를 능가할 수 있다.
• 측정 기저의 얽힘 정도를 조절함으로써 파울리 샤로우와 클리포드 유사 샤로우 사이를 보간하는 방법을 제공하여 성능과 일반성 사이의 민감한 트레이드오프를 유연하게 조절할 수 있다.
• 이 프레임워크는 간단하면서도 강력한 상태 추정 프로토콜의 새로운 클래스를 가능하게 하며, 근접한 양자 장치에서의 구현 가능성이 있다.