[논문 리뷰] Classical shadows of fermions with particle number symmetry

Guang Hao Low|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 18.

Random Matrices and Applications인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 고정된 입자수 $\eta$를 가진 페르미온계의 $k$-감소밀도행렬(k-RDMs)을 고전적 그림자(classical shadows)를 사용하여 고전적으로 효율적으로 추정하는 방법을 제안한다. 입자수를 보존하는 랜덤 단일입자 유니터리(unitary)를 $\eta$-입자 부분공간에서 추출함으로써, 표본 복잡도가 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$로 감소하며, 이는 양자화학 및 응집물질계에서 흔히 나타나는 $n \gg \eta$인 경우 기존 큐비트 기반 방법의 $n^k$ 스케일링보다 초초기적(super-exponential) 향상이다.

ABSTRACT

We consider classical shadows of fermion wavefunctions with $η$ particles occupying $n$ modes. We prove that all $k$-Reduced Density Matrices (RDMs) may be simultaneously estimated to an average variance of $ε^{2}$ using at most $\binomη{k}\big(1-\frac{η-k}{n}\big)^{k}\frac{1+n}{1+n-k}/ε^{2}$ measurements in random single-particle bases that conserve particle number, and provide an estimator for any $k$-RDM with $\mathcal{O}(k^2η)$ classical complexity. Our sample complexity is a super-exponential improvement over the $\mathcal{O}(\binom{n}{k}\frac{\sqrt{k}}{ε^{2}})$ scaling of prior approaches as $n$ can be arbitrarily larger than $η$, which is common in natural problems. Our method, in the worst-case of half-filling, still provides a factor of $4^{k}$ advantage in sample complexity, and also estimates all $η$-reduced density matrices, applicable to estimating overlaps with all single Slater determinants, with at most $\mathcal{O}(\frac{1}{ε^{2}})$ samples, which is additionally independent of $η$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 입자수 $\eta$를 가진 페르미온계에서 $k$-RDMs 추정의 높은 표본 복잡도 문제를 해결하기 위해, 특히 $n \gg \eta$일 경우에 초점을 맞춘다.
• 입자수 대칭성을 활용하여 입자수 보존이면서 고전적 그림자 단층촬영에 효율적인 측정 기반을 설계한다.
• 기존 큐비트 기반 또는 일반 페르미온 그림자 프로토콜에 비해 표본 복잡도를 초초기적으로 감소시킨다.
• 낮은 분산을 동시에 가지며 모든 $\eta$-입자 $k$-RDMs를 계산적으로 효율적으로 추정할 수 있는 추정기를 제공한다.
• 최악의 반충전 상황(예: 반충전)에서도 효율성을 유지하며, 표본 복잡도가 $n$과 독립적임을 보여준다.

제안 방법

• 입자수 보존을 위한 $\eta$-입자 부분공간에서 하르 측도(Haar measure)에 따라 추출된 랜덤 단일입자 유니터리 $U_\eta(u)$를 사용하여 입자수를 보존하는 측정을 수행한다.
• 회전된 오염수준 상태와 기준 포크 기저(Fock basis)와의 오버랩을 보정하는 보정 연산자 $E_{\eta,k}$를 고려한 $k$-RDMs에 대한 단일 샷 추정기를 사용한다.
• 외대수 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 상에서 하르 적분을 사용하여 측정 채널의 역함수를 유도함으로써 $k$-RDMs의 편향 없는 추정이 가능해진다.
• 피아프피안과 외대곱을 사용하여 보정 항을 효율적으로 계산하며, 다항시간 내에 피아프피안을 평가할 수 있도록 한다.
• 피아프피안의 다항식 보간과 도함수 항등식을 적용하여 $\mathcal{O}(\eta k)$ 시간 내에 필요한 기저 요소 $B_{n,\eta,k,u'}(y,z)$를 효율적으로 계산한다.
• 최종 추정기를 $\mathcal{O}(\eta k)$개의 항으로 표현함으로써 계산 효율성을 확보하며, 각 항은 다항시간 내에 계산 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자수 대칭성을 활용하여 기존 방법의 $\mathcal{O}(n^k)$ 스케일링보다 낮은 표본 복잡도로 페르미온 상태 단층촬영의 복잡도를 낮출 수 있는가?
• RQ2 큐비트 경우와 유사하게, 페르미온계에서 $k$-RDMs 추정의 표본 복잡도에 대해 초초기적 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ3 모든 입자수 보존 $k$-RDMs를 분산 $\epsilon^2$로 동시에 추정하기 위해 필요한 최소 측정 수는 얼마인가?
• RQ4 오직 입자수 보존 측정만을 사용하여 $\eta$-입자 부분공간의 $k$-RDMs에 대해 효율적인 고전적 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ5 최악의 상황(예: 반충전)에서 표본 복잡도는 어떻게 스케일링되며, 이를 $n$과 독립적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 표본 수가 $\binom{\eta}{k}\left(1 - \frac{\eta - k}{n}\right)^k \frac{1 + n}{1 + n - k} / \epsilon^2$ 이하일 경우, 모든 $k$-RDMs의 평균 분산이 $\epsilon^2$ 이내가 되며, $n \gg \eta$ 조건에서는 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ 스케일링을 보인다.
• 최악의 반충전 상황($\eta = n/2$)에서도 기존 방법 대비 $4^k$ 배의 표본 복잡도 감소를 달성한다.
• 모든 $\eta$-감소밀도행렬을 추정하며, 최대 $\frac{4}{3} / \epsilon^2$개의 표본으로 모든 단일 슬래터 결정자와의 오버랩을 효율적으로 추정할 수 있으며, 이는 $\eta$와 무관하다.
• 추정기는 계산적으로 효율적이며, 피아프피안 계산과 보정 항 평가를 포함한 전체 절차가 $n$, $\eta$, $k$에 대해 다항시간 내에 수행된다.
• 측정 채널의 역함수는 외대수 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 상에서 하르 적분을 사용하여 유도되었으며, 그림자로부터 $k$-RDMs의 정확한 재구성을 가능하게 한다.
• 오직 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$개의 표본만으로도 모든 입자수 보존 $k$-RDMs에 대해 단층촬영 완전성(tomographic completeness)을 달성하며, 이는 기존 페르미온 그림자 프로토콜의 $\mathcal{O}(n^k / \epsilon^2)$ 스케일링 대비 초초기적 향상이다.