[논문 리뷰] Classical vs Quantum Advice and Proofs Under Classically-Accessible Oracle

Xingjian Li, Qipeng Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 BQP/qpoly가 BQP/poly를 고도로 포함하고, QMA가 QCMA를 고도로 포함하는, 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클을 구성한다. 이는 양자적 조언과 증거, 고전적 조언과 증거 간의 분리를 보여주며, 특히 고전적 오라클 접근이 제한된 상황에서도 양자적 우월성이 유지됨을 입증한다. 저자들은 허위난수 함수와 통계적 불구별성에 기반한 새로운 기법을 사용하여, 고전적 알고리즘이 조차도 양자적 우월성을 시뮬레이션할 수 없음을 보이며, 이는 이 설정에서 처음으로 이러한 분리를 확립한 것으로, 최근 Natarajan과 Nirkhe의 결과에 기반한 QMA vs QCMA 분리에 대한 대체 증명을 제공한다.

ABSTRACT

It is a long-standing open question to construct a classical oracle relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly or QMA $ eq$ QCMA. In this paper, we construct classically-accessible classical oracles relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly and QMA $ eq$ QCMA. Here, classically-accessible classical oracles are oracles that can be accessed only classically even for quantum algorithms. Based on a similar technique, we also show an alternative proof for the separation of QMA and QCMA relative to a distributional quantumly-accessible classical oracle, which was recently shown by Natarajan and Nirkhe.

연구 동기 및 목표

• 고전적 오라클에 대해 BQP/qpoly가 BQP/poly를 고도로 포함하고, QMA가 QCMA를 고도로 포함하는지 여부를 해결하는 것.
• 양자 알고리즘이 고전적 입력/출력을 통해 오라클에만 접근할 수 있는 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클을 구성하여, 양자적 조언과 양자적 증거가 고전적 대응물보다 확실한 우월성을 제공함을 보이는 것.
• 최근 Natarajan과 Nirkhe의 결과에 기반하여, 분포 기반 양자적 접근 가능한 고전적 오라클에 대해 QMA와 QCMA의 분리를 위한 새로운 증명 기법을 제공하는 것.
• 밥이 고전적 오라클 쿼리를 통해 앨리스의 입력을 쿼리할 수 있는 상황에서도 고전적 일방 통신 복잡도가 여전히 초다항식으로 유지됨을 보여, 이전의 통신 복잡도 장벽을 우회하는 것.

제안 방법

• 통계적 제약 조건 하에서 (Hn, rn)이 균일성과 불구별 가능하도록 하는 랜덤 함수 Hn: [n] × Σ → {0,1}과 문자열 rn ∈ {0,1}^n의 분포를 구성한다.
• 양자 알고리즘이 양자적 조언을 가진 채로 오라클에 고전적 접근만으로도 고도로 높은 확률로 문제를 해결할 수 있지만, 고전적 알고리즘이 고전적 조언을 가진 채로는 고도로 높은 확률로 실패하는 언어 L을 정의한다.
• 하이브리드 추론과 마르코프 부등식을 사용하여, 어떤 고전적 QCMA 기계의 성공 확률을 근사하고, 모든 입력 길이에서의 성공 확률이 0임을 보인다.
• 양자 알고리즘이 양자적 조언을 사용해 앰플리튜드 강화와 위상 추정을 통해 해결책을 계산할 수 있지만, 고전적 알고리즘은 오라클 분포의 통계적 불구별성 때문에 이를 시뮬레이션할 수 없음을 활용한다.
• 가чёт 수의 QCMA 기계들에 대해 대각선화 유사 추론을 적용하여, 어떤 기계도 모든 입력 길이에서 양의 확률로 성공할 수 없음을 보인다.
• 고전적 쿼리 하에서 Hn을 랜덤 함수와 구별하는 것이 어렵다는 사실을 활용하여, 고전적 알고리즘이 조차도 오라클의 구조를 학습할 수 없음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BQP/qpoly가 BQP/poly를 고도로 포함하는 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클 하에서 양자적 조언이 고전적 조언보다 확실한 우월성을 제공하는가?
• RQ3 QMA와 QCMA 사이의 분리는 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클 하에서 확립될 수 있는가?
• RQ4 밥의 입력이 앨리스의 입력보다 지수적으로 작고, 고전적 쿼리가 허용되는 상황에서, 고전적 프로토콜과 양자 프로토콜 간의 일방 통신 복잡도 분리가 존재하는가?
• RQ5 최근 Natarajan과 Nirkhe의 결과에 기반한 분포 기반 오라클 하에서의 QMA 대비 QCMA 분리를, 더 일반적인 기법을 사용해 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• BQP/qpoly가 BQP/poly를 고도로 포함하는 고전적으로 접근 가능한 고전적 오라클 O가 존재함을 보이며, 고전적 오라클 접근 설정에서 오랫동안 열려있던 문제를 해결한다.
• 이 분리는, 동일한 고전적 오라클에 접근할 수 있는 양자 알고리즘은 양자적 조언을 사용해 언어 L을 결정할 수 있지만, 고전적 알고리즘은 고전적 조언을 사용해도 결정할 수 없는 언어 L을 구성함으로써 달성된다.
• 구축된 오라클 분포 하에서, 어떤 고전적 QCMA 기계도 모든 입력 길이에서 성공 확률이 0임을 보이며, 이는 L ∉ QCMA^O가 확률 1로 성립함을 증명한다.
• 논문은 Natarajan과 Nirkhe의 기법과 다른 기법을 사용하여, 분포 기반 양자적 접근 가능한 고전적 오라클 하에서 QMA 대비 QCMA 분리에 대한 대체 증명을 제공한다.
• 일방 통신 복잡도에서 새로운 초다항식 분리를 확립한다: 양자 프로토콜은 다항수의 통신만 필요로 하지만, 고전적 프로토콜은 초다항식의 통신이 필요하며, 이는 박스가 앨리스의 입력을 고전적으로 쿼리할 수 있는 경우에도 성립한다.
• 결과적으로, 통신 복잡도의 장벽(아로노슨의 정리 7.1)은 전체 함수가 아닌 관계를 고려함으로써 우회될 수 있으며, 이는 더 강력한 분리를 가능하게 한다.