[논문 리뷰] Classical Widely Linear Estimation of Real Valued Parameter Vectors in Complex Valued Environments

Oliver Lang, Mario Huemer|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Control Systems and Identification참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 측정값에서 실수 벡터를 추정하기 위해 일반적인 추정기에서 발생하는 체계적 편향을 피하기 위해 넓은 의미의 선형 고전적 추정기—WLLS와 BWLUE—를 제안한다. WLLS 추정기는 노이즈 통계 정보가 필요 없으며 실수 추정치를 생성하지만, BWLUE는 두차원 통계를 활용하여 뛰어난 성능을 달성한다. 양자 모두 기존의 표준 LS 및 BLUE 방법보다 우수하며, 실수 영역에서 매개변수 차원이 감소함에 따라 측정 수를 절반으로 줄일 수 있다.

ABSTRACT

This work investigates the task of estimating a real valued parameter vector based on complex valued measurements in a classical set-up. The application of standard estimators in general results in complex valued estimates of the real valued parameter vector. To avoid this systematic error, widely linear classical estimators that produce real valued estimates are investigated. One of these estimators is the widely linear least squares (WLLS) estimator proposed in this work, which does not utilize any noise statistics. Further, we introduce the best widely linear unbiased estimator (BWLUE) for real valued parameter vectors. The proposed estimators in general outperform their standard counterparts LS estimator and BWLUE, respectively, and they only require half as many complex valued measurements. We compare the novel approaches to standard classical estimators in two application scenarios. One of these applications considers the estimation of a real valued impulse response based on noisy measurements of the system's magnitude and phase response. For this problem, we propose a novel two-step approach based on the introduced widely linear concepts that outperforms standard estimators.

연구 동기 및 목표

• 실수 매개변수 벡터에 대해 복소수 측정값을 사용할 때 기존 고전적 추정기(예: LS, BLUE)가 유발하는 체계적 오차를 해결한다.
• 매개변수 벡터의 실수 성질을 고려하여 실수 추정치를 강제하는 광범위한 선형 추정기를 개발한다.
• 노이즈 통계 정보가 필요 없는 추정기(WLLS)와 통계적으로 최적의 추정기(BWLUE)를 제안하여 복소수 측정 모델에서 실수 매개변수를 추정한다.
• 실제 적용 사례에서 성능 향상을 입증한다. 특히 노이즈가 있는 크기 및 위상 응답에서 임펄스 응답을 추정하는 데에 초점을 맞춘다.
• WLLS와 BWLUE를 조합한 새로운 이중 단계 접근법을 도입하여 비선형 주파수 응답 문제에서 추정 정확도를 향상시킨다.

제안 방법

• 증강된 복소수 모델과 두차원 통계를 사용하여 실수 매개변수 벡터에 대한 최적의 광범위한 선형 무편향 추정기(BWLUE)를 유도한다.
• 노이즈 통계 정보가 필요 없고, 복소수 공간 내 광범위한 선형 투영을 통해 실수 추정치를 생성하는 광범위한 선형 최소 제곱법(WLLS) 추정기를 제안한다.
• 복소수 측정치와 그 켤레를 모두 활용하기 위해 WLLS 추정기를 증강 형태로 제작한다.
• 이중 단계 추정 접근법을 도입한다: 먼저 WLLS를 사용해 노이즈 통계를 추정하고, 그 결과를 바탕으로 BWLUE를 적용한다.
• 실수 매개변수 추정 문제를 증강된 복소수 모델을 통해 표현함으로써 원래 복소수 측정치의 구조를 유지한다.
• 두 가지 시나리오에 추정기를 적용한다: (1) 노이즈가 있는 측정값에서 복소수 지수의 크기를 추정하고, (2) 노이즈가 있는 크기 및 위상 주파수 응답에서 실수 매개변수의 임펄스 응답을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 복소수 측정 모델에서 실수 매개변수 벡터에 대해 실수 추정치를 생성하는 광범위한 선형 추정기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 BWLUE 및 WLLS 추정기가 표준 LS 및 BLUE 추정기보다 편향 및 평균 제곱 오차 측면에서 얼마나 향상되었는가?
• RQ3 WLLS와 BWLUE를 조합한 이중 단계 접근법이 비선형 주파수 응답 복원 문제에서 직접 추정보다 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ4 WLLS 추정기는 표준 추정기 대비 계산 복잡도와 측정 요구 조건을 얼마나 줄이는가?
• RQ5 노이즈 통계 정보가 알려져 있지 않거나 정확히 모델링하기 어려운 상황에서 제안된 추정기는 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 모든 테스트된 신호 대 잡음비에서 평균 BMSE 측면에서 실수 매개변수에 대한 BWLUE는 WLLS 추정기 및 IDFT 방법보다 뚜렷하게 뛰어난 성능을 보였다.
• WLLS를 통해 노이즈 통계를 추정하고, 그 결과를 바탕으로 BWLUE를 적용하는 제안된 이중 단계 접근법은 이론적 성능 한계에 거의 도달하는 성능을 달성했다.
• 크기 노이즈 분산이 낮을 경우 WLLS 추정기는 표준 LS 및 IDFT 방법보다 낮은 BMSE를 기록했다.
• 위상 노이즈 분산이 낮을 경우 BWLUE 및 이중 단계 접근법은 성능 한계에 거의 도달했으며, 현실적인 조건에서 거의 최적의 추정을 가능하게 했다.
• WLLS 추정기는 실수 매개변수의 수가 감소함에 따라 표준 LS 또는 BWLUE에 비해 복소수 측정치의 수를 절반으로 줄일 수 있었다.
• 제안된 추정기는 실수 매개변수에 대해 복소수 추정치를 생성하는 기존 고전적 추정기에서 유발되는 체계적 편향을 완전히 제거했다.