[논문 리뷰] Classically Approximating Variational Quantum Machine Learning with Random Fourier Features

Jonas Landman, Slimane Thabet외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 24.

Stochastic Gradient Optimization Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기하급수적으로 큰 양자 특징 공간에서의 핵심 주파수를 샘플링하여 변량 양자 회로(VQCs)를 근사하기 위해 랜덤 푸리에 특징(RFF)을 사용하는 고전적 샘플링 방법을 제안한다. 작은 수의 유리하게 스케일링되는 샘플로도, 특히 VQC 스펙트럼이 중복성이 높을 경우, RFF는 합성 및 실질 데이터셋에서 VQCs와 동일하거나 그 이상의 성능을 보이며, 많은 경우에서 양자 우월성의 가정을 도전한다.

ABSTRACT

Many applications of quantum computing in the near term rely on variational quantum circuits (VQCs). They have been showcased as a promising model for reaching a quantum advantage in machine learning with current noisy intermediate scale quantum computers (NISQ). It is often believed that the power of VQCs relies on their exponentially large feature space, and extensive works have explored the expressiveness and trainability of VQCs in that regard. In our work, we propose a classical sampling method that may closely approximate a VQC with Hamiltonian encoding, given only the description of its architecture. It uses the seminal proposal of Random Fourier Features (RFF) and the fact that VQCs can be seen as large Fourier series. We provide general theoretical bounds for classically approximating models built from exponentially large quantum feature space by sampling a few frequencies to build an equivalent low dimensional kernel, and we show experimentally that this approximation is efficient for several encoding strategies. Precisely, we show that the number of required samples grows favorably with the size of the quantum spectrum. This tool therefore questions the hope for quantum advantage from VQCs in many cases, but conversely helps to narrow the conditions for their potential success. We expect VQCs with various and complex encoding Hamiltonians, or with large input dimension, to become more robust to classical approximations.

연구 동기 및 목표

• 기계학습 작업에서 변량 양자 회로(VQCs)의 표현력을 고전적 방법이 효과적으로 근사할 수 있는지 조사하는 것.
• VQCs가 고전적 모델보다 진정으로 우월성을 보일 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 양자 실행이 아닌 VQC 아키텍처만으로도 가능한, 랜덤 푸리에 특징(RFF) 기반의 실용적인 고전적 근사 방법을 개발하고 평가하는 것.
• 근사 품질이 입력 차원, 인코딩 해밀토니안 구조, 스펙트럼 중복성과 같은 주요 VQC 성질에 어떻게 의존하는지 분석하는 것.
• RFF가 유한 오차로 VQCs를 근사하는 데 있어 효율성에 대한 이론적 경계와 실증적 검증을 제공하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 VQCs가 푸리에 급수로 표현될 수 있으며, 그 스펙트럼 성분이 인코딩 게이트와 회로 유니터리에 의해 유도된다는 사실을 활용한다.
• 세 가지 다른 RFF 샘플링 전략이 제안된다: 트리 샘플링, 고유 샘플링, 격자 샘플링이며, 각각 VQCs의 다른 스펙트럼 구조에 맞게 설계되었다.
• 특히 인코딩 해밀토니안에서 유도된 주파수를 VQC 아키텍처에서 추출하여, 양자 회로를 실행하지 않고도 고전적 커널 근사를 구축한다.
• 이론적 경계가 유도되며, 이는 스펙트럼 크기가 커질수록 필요한 RFF 샘플 수가 유리하게 증가함을 보여주며, 특히 중복성이 높을 경우 더욱 그렇다.
• 이 접근법은 고전적 최적화를 사용해 RFF 기반 커널 모델을 훈련시키며, 동일한 데이터셋에서 양자 훈련된 VQCs와 직접 비교할 수 있도록 한다.
• 실증적 평가는 인공 및 실제 세계 데이터셋을 대상으로 수행되어, RFF 근사와 원본 VQCs 간의 일반화 성능과 샘플 효율성의 비교가 이루어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 푸리에 특징 기반의 고전적 커널 모델이 제한된 오차와 소수의 샘플로 VQCs가 학습한 함수를 근사할 수 있는가?
• RQ2 필요한 RFF 샘플 수가 입력 차원, 회로 깊이, 스펙트럼 중복성과 같은 주요 VQC 성질에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 인코딩 해밀토니안이 비대각화 가능할 경우를 포함해, 어떤 영역에서 VQCs가 고전적 RFF 근사보다 잠재적인 우월성을 보일 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 내에서 비영인 계수를 가진 주파수의 부분집합만이 실제로 기여하는 바를 감안할 때, VQCs의 유효 표현력은 이론적 잠재력과 얼마나 일치하는가?
• RQ5 실제로 고전적 RFF 방법이 VQCs를 초월할 수 있으며, 어떤 조건에서 그러한 초월가능성이 성립하는가?

주요 결과

• RFF 근사는 합성 및 실질 데이터셋에서 VQCs와 동일하거나 그 이상의 성능을 보이며, 극히 적은 샘플로도 강력한 실증적 성능을 보인다.
• 필요한 RFF 샘플 수는 양자 스펙트럼 크기와 함께 유리하게 증가하며, 일부 경우에서는 스펙트럼의 0.001%만으로도 좋은 근사가 가능하다.
• VQC 스펙트럼이 높은 중복성을 보일 경우, 계산적으로 가장 효율적인 트리 샘플링이 더 적은 샘플로도 강력한 근사를 달성한다.
• 고유 샘플링 및 격자 샘플링 전략은 트리 샘플링이 실패할 수 있는, 스펙트럼 내에서 덜 중복적인 주파수를 학습하는 데 VQCs를 초월할 수 있다.
• 이론적 경계는 샘플 복잡도의 유리한 스케일링을 시사하지만, 높은 상수 인자로 인해 소규모 실험에서는 즉각적인 실용적 관련성이 제한된다.
• 결과적으로, 간단하거나 대각화 가능한 인코딩 게이트를 가진 경우, 고전적 데이터 학습에서 VQCs의 양자 우월성 가정을 도전한다.