[논문 리뷰] Classification and Description of Bosonic Symmetry Protected Topological Phases with semiclassical Nonlinear Sigma models

Zhen Bi, Alex Rasmussen외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 02.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 공간 차원에서 보손 대칭 보호 양자 상(SPT)을 분류하고 기술하기 위해 통합된 양자역학적 비선형 시그마 모형(NLSM) 프레임워크를 제안한다. 모든 이러한 SPT 상—대칭 유형에 관계없이—(d+1)차원 시공간에서 O(d+2) NLSM에 위상적 Θ-항을 포함한 것으로 기술될 수 있음을 보여주며, 이는 군 코homology 분류와 정확히 일치한다. 이는 경계 물리학과 결함 구조의 명시적 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we systematically classify and describe bosonic symmetry protected topological (SPT) phases in all physical spatial dimensions using semiclassical nonlinear Sigma model (NLSM) field theories. All the SPT phases on a $d-$dimensional lattice discussed in this paper can be described by the same NLSM, which is an O(d+2) NLSM in $(d+1)-$dimensional space-time, with a topological $Θ-$term. The field in the NLSM is a semiclassical Landau order parameter with a unit length constraint. The classification of SPT phases discussed in this paper based on their NLSMs is consistent with the more mathematical classification based on group cohomology. Besides the classification, the formalism used in this paper also allows us to explicitly discuss the physics at the boundary of the SPT phases, and it reveals the relation between SPT phases with different symmetries. For example, it gives many of these SPT states a natural "decorated defect" construction.

연구 동기 및 목표

• 모든 물리적 공간 차원에서 다양한 연속적 및 이산 대칭을 갖는 보손 SPT 상을 체계적으로 분류하기.
• 모든 이러한 SPT 상에 대해 양자역학적 비선형 시그마 모형(NLSM)을 사용한 통일된 장 이론 기술 수립하기.
• NLSM를 통한 장 이론적 분류와 SPT 상의 수학적 군 코호몰로지 분류 간의 연결 고리 확립하기.
• SPT 상에서 경계 상태와 대칭이 강화된 결함 구조에 대한 명시적 물리적 통찰 제공하기.

제안 방법

• 논문은 d차원 SPT 상에 대해 (d+1)-차원 시공간에서 O(d+2) 비선형 시그마 모형을 사용하여 통일된 장 이론으로 설정한다.
• NLSM의 작용에는 서로 다른 SPT 상을 구분하는 위상적 Θ-항이 포함되어 있으며, Θ-값이 위상적 불변량을 결정한다.
• 순서 매개변수 장은 단위 길이로 제약되며, 대칭 변환은 장의 변환 규칙에 의해 표현되는 양자역학적 랑다 순서 매개변수를 나타낸다.
• 분류는 NLSM 장의 대칭 변환과 관련된 순간자 수를 분석함으로써 유도되며, 이는 위상 불변량에 해당한다.
• 이 프레임워크는 대칭 작용이 다른 루트 상을 조합함으로써 SPT 상태의 '장식된 결함' 구조를 가능하게 한다.
• 전체 대칭군에 대한 NLSM 장의 변환 성질을 분석함으로써, 시간 역행 및 게이지 대칭을 포함한 다중 대칭을 갖는 시스템으로 일반화할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 NLSM 프레임워크로 모든 공간 차원과 다양한 대칭군에 대해 보손 SPT 상을 기술할 수 있는가?
• RQ2 O(d+2) NLSM 작용에 위상적 Θ-항을 포함함으로써 SPT 상의 서로 다른 위상 불변량을 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 NLSM 형식론에 의해 기술되는 SPT 상의 경계 상태는 물리적으로 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ4 NLSM 프레임워크는 SPT 상태의 '장식된 결함' 구조를 어떻게 자연스럽게 실현하는가?
• RQ5 NLSM 분류는 SPT 상의 군 코호몰로지 분류와 동치인가?

주요 결과

• Z2, Z2×Z2, U(1), SO(3) 및 그 시간 역행 확장 포함된 모든 대칭을 갖는 보손 SPT 상은 (d+1)차원 시공간에서 O(d+2) NLSM에 Θ-항을 포함한 것으로 기술될 수 있다.
• NLSM 형식론에 기반한 분류는 SPT 상의 군 코호몰로지 분류와 정확히 일치하며, 수학적 접근과 장 이론적 접근 간의 일관성을 확인한다.
• NLSM 프레임워크는 경계 물리학의 명시적 분석을 가능하게 하며, 경계 상태가 자발적 대칭 깨짐 또는 위상적 순서로 인해 금역이 없거나 degenerate해질 수 있음을 드러낸다.
• 형식론은 복잡한 SPT 상을 서로 다른 대칭 작용을 갖는 간단한 루트 상을 조합함으로써 구성하는 '장식된 결함' 구조를 자연스럽게 실현한다.
• Z2×Z2×Z2 대칭의 경우, 1차원: (Z2)3, 2차원: (Z2)7, 3차원: (Z2)8로 분류되며, 위상 공간의 구조를 확인한다.
• NLSM 접근법은 순서 매개변수가 그들에 대해 비자명하게 변환하도록 요구함으로써, 반전 대칭과 같은 격자 대칭을 포함시킬 수 있다.