[논문 리뷰] Classification of 1+1D gapless symmetry protected phases via topological holography

Rui Wen, Andrew C. Potter|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 31.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 이중 모델에서 anyon 응집을 통해 1+1차원 보존 gSPT 상과 2+1차원 대칭(topological field theory, SymTFT)의 부분적으로 봉인된 경계 사이의 일대일 대응을 수립한다. 주요 기여는 gSPT를 위상적 홀로그래피를 통해 완전히 분류함으로써, 가장자리 모드와 잠재적 이상 현상이 대칭을 유지하는 anyon 응집을 통해 SymTFT의 구조에서 유래됨을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Symmetry topological field theory (SymTFT) gives a holographic correspondence between systems with a global symmetry and a higher-dimensional topological field theory. In this framework, classification of gapped phases of matter in spacetime dimension 1+1D correspond to classifications of mechanisms to confine the SymTFT by condensing anyons. In this work, we extend these results to characterize gapless symmetry-protected topological states: symmetry-enriched gapless phases or critical points that exhibit edge modes protected by symmetry and topology. We establish a one-to-one correspondence between 1+1D bosonic gSPTs, and partially-confined boundaries of 2+1D SymTFTs. From general physical considerations, we determine the set of data and consistency conditions required to define a 1+1D gSPT, and show that this data precisely matches that of symmetry-preserving partial confinement (or partially gapped boundaries) of 2+1D quantum double models. We illustrate this correspondence through a dimensional reduction (thin-slab) construction, which enables a physically-intuitive derivation of how properties of the gSPT such as edge modes, emergent anomalies, and stability to perturbations arise from the SymTFT perspective.ditions required to define a 1+1D gSPT and show that they fully determine the physics of the gSPT including edge modes and emergent anomaly.

연구 동기 및 목표

• 기존에 급작스럽게 열린 상에 사용된 SymTFT 프레임워크를 확장하여 1+1차원 시스템에서 급작스럽게 열린 대칭 보호 위상(SPT) 상을 분류하는 것.
• 1+1차원 보존 gSPT를 완전히 특징짓는 데 필요한 대수적 자료와 일관성 조건을 규명하는 것, 특히 가장자리 모드와 잠재적 이상 현상 포함.
• 특히 양자 이중 모델을 포함한 2+1차원 SymTFT의 부분적으로 봉인된 경계와 gSPT 사이의 홀로그래픽 dualities를 수립하는 것.
• gSPT의 위상적 특성, 예를 들어 가장자리 모드와 이상 현상이 SymTFT의 부스러기에서 anyon 응집을 통해 어떻게 유도되는지를 보여주는 것.
• SymTFT 프레임워크에서 gapped SPT의 부스러기-가장자리 상호작용을 급작스럽게 열린 상으로 일반화하여, 1+1차원 gSPT를 0+1차원 가장자리 이론과 위상적 자료를 통해 연결하는 것.

제안 방법

• 1+1차원 보존 gSPT를 분류하기 위해 위상적 자료 $(\eta, \epsilon)$의 집합을 도입하며, 여기서 $\eta$는 급작스럽게 열린 영역의 SPT 클래스를 캡슐화하고 $\epsilon$은 급작스럽게 열린 영역과 대칭 간의 상호작용을 제어한다.
• SymTFT 이중성의 응용을 통해 gSPT를 2+1차원 양자 이중 모델 $D(\Gamma)$의 부분적으로 봉인된 경계로 매핑하며, 여기서 anyon 응집은 위상적 순서를 부분적으로 유지한다.
• 차원 감소(미세 슬립 구조)를 사용하여 물리적 직관을 도출한다: 급작스럽게 열린 영역는 SymTFT의 경계에서, 급작스럽게 열리지 않은 영역는 SymTFT의 부스러기에서 유래된다.
• 군 코hom로지와 위상적 장 이론의 제약 조건을 사용하여 $(\eta, \epsilon)$에 대한 일관성 조건을 유도하며, 이상 없이 대칭이 실현되도록 보장한다.
• gSPT의 잠재적 이상이 SymTFT의 응집 이후의 비틀림 구조와 일치함을 보여줌으로써 부스러기-가장자리 상호작용를 수립한다. 이는 1+1차원 gSPT와 0+1차원 가장자리 이상 사이의 연결을 뒷받침한다.
• gSPT에 비어 있는 SPT(분류에 $\omega_2$가 사용됨)를 겹치는 것은 $\eta$ 요소를 당김을 통해 무효화하는 것으로 표현되며, 잠재적 이상을 유지함으로써 SPT 겹침에 의한 이상 불변성을 확인한다.

Figure 1: SymTFT description of $\mathbb{Z}_{2}$ symmetry. The thin slab hosts toric code in its bulk. On the top reference boundary we fix the $e$ -condensed boundary condition. The horizontal $m$ -line becomes a global symmetry for the effective 1+1D system which we identify as the generator of a

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원 급작스럽게 열린 대칭 보호 위상 상은 위상적 홀로그래피를 통해 어떻게 분류될 수 있는가?
• RQ2 1+1차원 gSPT와 2+1차원 SymTFT의 부분적으로 봉인된 경계 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 gSPT의 가장자리 모드와 잠재적 이상 현상은 SymTFT의 anyon 응집 메커니즘을 통해 어떻게 기인하는가?
• RQ4 1+1차원 보존 gSPT를 완전히 특징짓는 데 필요한 대수적 자료는 무엇이며, 그가 따라야 할 일관성 조건은 무엇인가?
• RQ5 SymTFT 프레임워크에서 gapped SPT의 부스러기-가장자리 상호작용는 급작스럽게 열린 상으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 1+1차원 보존 gSPT와 2+1차원 양자 이중 모델에서 대칭적이며 부분적으로 봉인된 anyon 응집 사이의 일대일 대응이 수립된다.
• gSPT의 분류는 두 위상 인자 $(\eta, \epsilon)$에 의해 완전히 기술되며, $\eta$는 급작스럽게 열린 영역의 SPT 클래스를 결정하고 $\epsilon$은 급작스럽게 열리지 않은 영역와 대칭 간의 상호작용을 캡슐화한다.
• gSPT의 가장자리 모드는 SymTFT의 부분적으로 봉인된 경계에서 유래된 anyonic 진동자에서 기인하며, 그 구조는 응집 패턴에 의해 결정된다.
• gSPT에서의 잠재적 이상은 SymTFT의 응집 이후 비틀림 구조와 동치임을 보여주며, 급작스럽게 열린 영역에서의 부스러기-가장자리 상호작용를 확인한다.
• gSPT에 비어 있는 SPT(분류에 $\omega_2$가 사용됨)를 겹치는 것은 $\eta$를 당김을 통해 무효화하는 것으로 표현되며, 잠재적 이상을 유지함으로써 SPT 겹침에 의한 이상 불변성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 SymTFT 이중성과 anyon 응집을 통해 기존에 알려진 gSPT 가족, 예를 들어 $\mathbb{Z}_4$-igSPT와 SPT 펌프 유형의 상들을 성공적으로 재현한다.

Figure 2: SymTFT description of the cluster chain. 1.The condensation $\{e_{1}m_{2},e_{2}m_{1}\}$ describes the SPT state protected by $\mathbb{Z}_{2}^{A}\times\mathbb{Z}_{2}^{B}$ . The $m_{1}$ -line operator is the generator of $\mathbb{Z}_{2}^{A}$ . 2. we pull out an $e_{2}$ -string from the $e_{2