[논문 리뷰] Classification of Argyres-Douglas theories from M5 branes

Yifan Wang, Dan Xie|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2015. 09. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 59인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $(2,0)$ 이론의 $A$, $D$, $E$ 유형에서 4차원 $\mathcal{N}=2$ 아르게스-다우거스드(AD) 이론의 광범위한 클래스를 구멍이 있는 구면 위에서 M5-brane의 compactification을 통해 분류한다. 히친 시스템과 스펙트럼 곡선을 분석함으로써, 비정상적인 특이점에 대한 보편적 형태를 유도하고, 이를 3차원 고립된 특이점으로 매핑함으로써 M5-brane로부터 유도된 AD 이론의 완전한 분류를 확립한다. 이는 중심 전하와 쿨롱가지 스펙트럼을 명시적으로 제공한다.

ABSTRACT

We obtain a large class of new 4d Argyres-Douglas theories by classifying irregular punctures for the 6d (2,0) superconformal theory of ADE type on a sphere. Along the way, we identify the connection between the Hitchin system and three-fold singularity descriptions of the same Argyres-Douglas theory. Other constructions such as taking degeneration limits of the irregular puncture, adding an extra regular puncture, and introducing outer-automorphism twists are also discussed. Later we investigate various features of these theories including their Coulomb branch spectrum and central charges.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $A$, $D$, $E$ 유형의 $(2,0)$ 초등방향장이론을 비정상적인 구멍이 있는 구면 위에서 compactification함으로써 유도되는 4차원 $\mathcal{N}=2$ 아르게스-다우거스드(AD) 이론을 체계적으로 분류하는 것.
• 같은 AD 이론의 스위프트-와이트먼(SW) 곡선에 대한 히친 시스템 기술과 그 이론의 3차원 고립된 특이점 기하학 간의 정확한 대응관계를 확립하는 것.
• Xie:2012hs에서 제시한 $A$-유형 M5-brane 구성법을 $D$ 및 $E$ 유형으로 일반화하여, 비정상적인 구멍과 외부자기회전(twist)을 포함하는 것.
• 구축된 AD 이론의 쿨롱가지 스펙트럼, 중심 전하 $a$와 $c$, 허그스가지 차원을 계산하는 것.
• 보편적 형태 $\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$를 통해 허용 가능한 모든 비정상 특이점의 구조를 특정하는 것. 이때 $b$와 $T$에 대한 제약 조건이 존재한다.

제안 방법

• 비정상적인 구멍을 $A$, $D$, $E$ 유형의 6차원 $(2,0)$ 이론에서 보편적 특이점 형태 $\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$를 통해 분류함. 여기서 $T$는 정규 준단순 원소이고, $k > -b$는 정수이다.
• 스펙트럼 곡선 $\det(x - \Phi) = 0$을 사용하여 시베르크-와이트먼(SW) 해를 도출하고 쿨롱가지 연산자의 스케일링 차원을 추출한다.
• 각 AD 이론을 스펙트럼 곡선을 통해 3차원 고립된 특이점으로 매핑하며, 일련의 가역가중수를 가진 초표면 $W(x_i, z) = 0$으로 식별한다.
• cDV(Compound Du Val) 특이점의 제약 조건을 적용하여 3차원 특이점이 고립되도록 보장하며, $k \geq 1$인 $L = \{z^k, z^k x_1, z^k x_2, z^k x_3\}$의 단항식들이 특이성의 존재를 방지하도록 한다.
• 좌표 변환과 정규형 분석을 사용하여 $cA_n$, $cD_n$, $cE_6$, $cE_7$, $cE_8$ 유형에 대해 가능한 모든 $W(x_i, z)$를 분류하며, 특정한 정규형(또는 그의 경계변형)만 허용됨을 보여준다.
• 쿨롱가지 스펙트럼에서 유도된 공식 $2a - c = \frac{1}{12} \sum_j (2[u_j] - 1)$ 및 $a - c = -\frac{n(n-1)}{24}$를 사용하여 중심 전하 $a$와 $c$를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원 $A$, $D$, $E$ 유형의 $(2,0)$ 이론에서 M5-brane의 compactification으로 유도된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 아르게스-다우거스드(AD) 이론의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 동일한 AD 이론에 대한 히친 시스템 기술과 3차원 특이점 기하학 간의 관계는 무엇이며, 이 대응관계는 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 $D$ 및 $E$ 유형의 $(2,0)$ 이론에서 비정상적인 구멍의 허용 가능한 구조는 무엇이며, 이는 $A$-유형의 경우를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 이러한 새로운 AD 이론에서 쿨롱가지 연산자의 스케일링 차원과 중심 전하 $a$ 및 $c$의 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ5 외부자기회전(twist)과 정상적인 구멍은 유도된 AD 이론의 구조와 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 저자들은 비정상 특이점에 대한 보편적 형태를 규명한다: $\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$이며, 이때 $b$는 표 1에 나열된 특정 값들로 제약을 받는다. 각 $J = A_{N-1}, D_N, E_6, E_7, E_8$에 대해 해당된다.
• 각 특이점에 대해 대응하는 3차원 특이점은 초표면 $W(x_i, z) = 0$으로 주어지며, 표 2에 $A$, $D$, $E_6$, $E_7$ 유형에 대해 명시적인 방정식이 제시되어 있다.
• 쿨롱가지 스펙트럼은 미르포르닉 미분의 극점에 의해 완전히 결정되며, 스케일링 차원은 $\{2i - k/( -1) \mid 2i - k/( -1) > 1\}$ 및 $\{n - (2k+1)/(2( -1)) \mid \cdots > 1\}$로 주어지며, 이는 히친 시스템에서 유도된다.
• 중심 전하의 계산 결과, 비틀림 $D_N$ 이론의 경우 $\n = \ell$일 때 $a = \frac{1}{24}n(n-1)(8( -1)n - 4\n - 1)$ 및 $c = \frac{1}{6}n(n-1)(2( -1)n - \n)$이 된다.
• 비틀림 $A_{2n-1}$ 이론의 경우 허그스가지 퀼터니언 차원은 $n(n+1)$으로 추측되며, 비틀림 $E_6$ 이론의 경우 $28$이다.
• 분석 결과, $cD_n$ 및 $cE_7$ 유형의 경우 오직 특정한 정규형(또는 그의 경계변형)만 허용되며, $z^k x_2$ 단항식만 존재할 경우 특이성의 존재가 발생하며, 이는 $k \in 6\mathbb{Z}$이 아니면 특이성의 존재를 피할 수 없다.