[논문 리뷰] Classification of Asymptotic Behavior in A Stochastic SIR Model

N. T. Dieu, Dang Nguyen외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 23.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상관된 화이트 노이즈를 가진 열화된 확률적 SIR 모델의 점근적 행동을 분석하여, 멸종 또는 지속 가능성에 대한 충분조건(필요 조건에 매우 가까운)을 확립한다. 에르고딕성(ergodicity)을 증명하여 전이 확률이 다항 수렴 속도를 가지는 불변 측도로 수렴함을 보이고, 불변 분포의 지지체를 정확히 규명한다.

ABSTRACT

This paper investigates asymptotic behavior of a stochastic SIR epidemic model, which is a system with degenerate diffusion. It gives sufficient conditions that are very close to the necessary conditions for the permanence. In addition, this paper develops ergodicity of the underlying system. It is proved that the transition probabilities converge in total variation norm to the invariant measure. Our result gives a precise characterization of the support of the invariant measure. Rates of convergence are also ascertained. It is shown that the rate is not too far from exponential in that the convergence speed is of the form of a polynomial of any degree.

연구 동기 및 목표

• 열화된 확산과 상관된 노이즈를 가진 확률적 SIR 모델의 장기적 행동을 분류하기 위해.
• 이전 결과를 향상시켜 필수 조건에 매우 가까운 멸종 또는 지속 가능성에 대한 충분조건을 제공하기 위해.
• 지속 가능성 조건 하에서 시스템의 유일한 불변 확률 측도의 존재와 유일성을 확립하기 위해.
• 전이 확률이 전체 변화 노름(total variation norm)에서 불변 측도로 수렴하는 것을 증명하기 위해.
• 불변 측도의 지지체를 규명하고 수렴 속도를 결정하기 위해.

제안 방법

• 모든 환경에 동일한 브라운 운동이 영향을 주는 확률적 SIR 모델을 설정하여 열화된 확산을 이끌어내기 위해.
• 리아푸노프 유형 함수와 확률적 분석 기법을 적용하여 에르고딕성과 점근적 행동을 연구하기 위해.
• 모델 매개수를 바탕으로 멸종(λ < 0) 또는 지속 가능성(λ > 0)을 결정하는 임계 임계 매개수 λ를 유도하기 위해.
• 포크너-플랭크 방정식(Fokker-Planck equation)과 불변 측도 이론을 사용하여 정적 분포의 지지체를 규명하기 위해.
• 전이 확률이 불변 측도로 전체 변화 노름에서 수렴함을 확립하기 위해.
• 수렴 속도가 임의의 다항 수렴 속도 이하로 bound됨을 보여주어, 지수 수렴 속도에 매우 가까운 것을 나타내기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관된 노이즈를 가진 확률적 SIR 모델이 질병 멸종을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 모델이 질병 지속성을 보일 조건은 언제인가?
• RQ3 지속 가능성 조건 하에서 불변 확률 측도의 정확한 지지체는 무엇인가?
• RQ4 전이 확률은 불변 측도로 얼마나 빠르게 수렴하는가?
• RQ5 수렴 속도는 bound될 수 있으며, 지수 수렴 속도와 비교해보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• λ < 0이면, 감염자 수 I(t)는 거의 확실하게 0으로 수렴하여 질병 멸종을 의미한다.
• λ > 0이면, ℝ²⁺ 내에 지지체를 가진 유일한 불변 확률 측도 φ*가 존재하여 질병 지속성을 의미한다.
• 해결 과정의 전이 확률은 전체 변화 노름에서 불변 측도로 수렴한다.
• 수렴 속도는 임의의 다항 수렴 속도 이하로 bound되며, 이는 지수 수렴 속도에 매우 가까운 것을 나타낸다.
• λ > 0일 경우, 강한 대수법칙이 성립한다: 적분 가능한 함수의 시간 평균은 φ* 하에서 기대값으로 거의 확실하게 수렴한다.
• d* > 0이면 불변 측도의 지지체는 {(S,I): S ≥ c*/I}로 명시적으로 규명되며, d* = -∞이면 ℝ²⁺이다.