[논문 리뷰] Classification of fractional quantum Hall states with spatial symmetries

Naren Manjunath, Maissam Barkeshli|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 21.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 연속적이고 결정성 공간 대칭성(예: U(1) 전하 보존, 자기 이동 대칭성, 회전 대칭성 포함)을 갖는 분수 양자 홀(FQH) 상태를 분류하기 위해 G-크로스드 브레이드된 텐서 카테고리(G-crossed BTCs)를 사용하는 통합 프레임워크를 개발한다. 이 프레임워크는 홀 전도도, 이동도, anyon에 대한 분수 양자수와 같은 위상적 불변량을 유도하며, 갈릴레이 불변성을 가정하지 않고도 전하 채움과 홀 전도도 및 단위 세포당 플럭스를 연결하는 일반화된 리브-슐츠-마티스 제약 조건을 수립한다. 이는 갈릴레이 불변성을 가정하지 않는 대칭 보호 위상 순서 형식 내에서 이루어진다.

ABSTRACT

Fractional quantum Hall (FQH) states are examples of symmetry-enriched topological states (SETs): in addition to the intrinsic topological order, which is robust to symmetry breaking, they possess symmetry-protected topological invariants, such as fractional charge of anyons and fractional Hall conductivity. In this paper we develop a comprehensive theory of symmetry-protected topological invariants for FQH states with spatial symmetries, which applies to Abelian and non-Abelian topological states, by using a recently developed framework of $G$-crossed braided tensor categories ($G imes$BTCs) for SETs. We consider systems with $U(1)$ charge conservation, magnetic translational, and spatial rotational symmetries, in the continuum and for all $5$ orientation-preserving crystalline space groups in two dimensions, allowing arbitrary rational magnetic flux per unit cell, and assuming that symmetries do not permute anyons. In the crystalline setting, applicable to fractional Chern insulators and spin liquids, symmetry fractionalization is fully characterized by a generalization to non-Abelian states of the charge, spin, discrete torsion, and area vectors, which specify fractional charge, angular momentum, linear momentum, and fractionalization of the translation algebra for each anyon. The topological response theory contains $9$ terms, which attach charge, linear momentum, and angular momentum to magnetic flux, lattice dislocations, disclinations, corners, and units of area. Using the $G imes$BTC formalism, we derive the formula relating charge filling to the Hall conductivity and flux per unit cell; in the continuum this relates the filling fraction and the Hall conductivity without assuming Galilean invariance. We provide systematic formulas for topological invariants within the $G imes$BTC framework; this gives, for example, a new categorical definition of the Hall conductivity.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 위상 순서 프레임워크를 초월하여 연속적이고 결정성 대칭성을 갖는 분수 양자 홀(FQH) 상태의 포괄적인 분류를 개발하기 위해.
• U(1) 전하 보존 및 공간 대칭성 하에서 FQH 상태의 anyon에 대해 분수 전하, 각운동량, 운동량 분할과 같은 대칭 보호 위상 불변량을 식별하고 특성화하기 위해.
• 갈릴레이 불변성을 가정하지 않고 G-크로스드 BTCs를 사용하여 전하 채움과 홀 전도도 및 단위 세포당 플럭스 사이의 관계를 기반으로 한 일반화된 리브-슐츠-마티스 정리를 도출하기 위해.
• 아벨 및 비아벨 FQH 상태와 분수 카이너 인버터를 포함한 분류를 확장하고, 불완전성(예: 이동 결함, 비틀림 결함)에 대한 반응 불변량을 포함하기 위해.
• 모든 방향 보존 2차원 공간군과 그 자기 확장에 대해 G-크로스드 BTC 방정식을 체계적으로 해결하여 전체 위상적 특성화를 가능하게 하는 체계적 해법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 전역 대칭성과 게이지 대칭성을 갖는 대칭 강화 위상(SET) 상태를 기술하기 위해 G-크로스드 브레이드된 텐서 카테고리(G-crossed BTC) 프레임워크를 사용한다.
• G-크로스드 BTC의 anyon 데이터에서 대칭 분할 불변량을 유도하며, 이는 분수 전하, 각운동량, 운동량 분할을 포함한다.
• 자기 플럭스, 이동 결함, 비틀림 결함, 모서리와 같은 결함에 대한 효과적 반응 이론을 구성하여 전하, 운동량, 각운동량의 위상적으로 보호된 결합을 특성화한다.
• SET 상태 및 SPT 상태의 분류를 위해 군 코hom로지 불변량을 계산하기 위해 리드너-호흐실드-세르 스펙트럴 시퀀스를 적용한다.
• 갈릴레이 불변성을 가정하지 않고 G-크로스드 BTC 형식을 통해 전하 채움과 홀 전도도 및 단위 세포당 플럭스 사이의 관계를 기반으로 한 일반화된 채움 제약 조건을 도출한다.
• 모든 5개의 방향 보존 2차원 공간군과 그 자기 확장에 대해 G-크로스드 BTC 방정식을 체계적으로 해결하며, 이는 이산적 회전 대칭성과 이동 대칭성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적이고 결정성 공간 대칭성을 갖는 FQH 상태에서 대칭 보호 위상 불변량을 체계적으로 분류할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 U(1) 및 공간 대칭성을 갖는 FQH 상태를 특성화하는 데 필요한 전체 위상 불변량 집합(홀 전도도와 이동도를 초월하여)은 무엇인가?
• RQ3 갈릴레이 불변성을 가정하지 않고 G-크로스드 BTC 데이터로부터만 전하 채움, 홀 전도도, 단위 세포당 플럭스 사이의 관계를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 이산 토르션과 운동량 분할은 결정성 FQH 상태에서 어떤 역할을 하는가? 이는 비아벨 anyon으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 이동 결함과 비틀림 결함과 같은 결함 반응은 FQH 시스템에서 분수적으로 양자화된 반응 이론에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 갈릴레이 불변성을 가정하지 않고 오직 G-크로스드 BTC 데이터만을 사용하여 전하 채움과 홀 전도도 및 단위 세포당 플럭스 사이의 관계를 연결하는 일반화된 리브-슐츠-마티스 제약 조건을 도출한다.
• 결정성 FQH 상태에서는 anyon의 대칭 분할이 일반화된 전하, 스핀, 이산 토르션, 면적 벡터로 완전히 특성화되며, 이 중 후자 두 개는 연속체에서는 존재하지 않는다.
• 분수적으로 양자화된 반응 이론에는 전하, 각운동량, 선형 운동량에 대한 분수 양자화된 반응과 함께 총 아홉 개의 서로 다른 불변량이 포함되어 있다.
• 홀 전도도는 연속체나 대칭성 가정 없이 anyon 데이터에서 유도된 위상 불변량으로서 G-크로스드 BTC 프레임워크 내에서 재정의된다.
• 논문은 모든 5개의 방향 보존 2차원 공간군과 그 자기 확장에 대해 G-크로스드 BTC 방정식을 완전히 해결하여 이러한 SET 상태의 전체 분류를 가능하게 한다.
• 분석의 부산물로 U(1) 전하 보존과 자기장이 존재하는 (2+1)차원 대칭 보호 위상(SPT) 상태의 새로운 분류가 도출된다.