[논문 리뷰] Classification of Gapped Symmetric Phases in 1D Spin Systems

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 23.

Quantum many-body systems참고 문헌 2인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 국소 유니터리(LU) 등가성과 분해 표현을 사용하여 일차원 양자 스핀 체계에서 갭이 있는 대칭적 위상들을 분류한다. 대칭이 없을 경우, 모든 1D 갭이 있는 위상은 비어 있는 제품 상태와 등가이며, 그러나 국소 대칭이 있을 경우 위상은 두 번째 코homology 군 $ H^2(G, \mathbb{C}) $에 의해 분류되며, 이는 대칭 보호된 위상적 순서를 기록한다.

ABSTRACT

Quantum many-body systems divide into a variety of phases with very different physical properties. The question of what kind of phases exist and how to identify them seems hard especially for strongly interacting systems. Here we make an attempt to answer this question for gapped interacting quantum spin systems whose ground states are short-range correlated. Based on the local unitary equivalence relation between short-range correlated states in the same phase, we classify possible quantum phases for 1D matrix product states, which represent well the class of 1D gapped ground states. We find that in the absence of any symmetry all states are equivalent to trivial product states, which means that there is no topological order in 1D. However, if certain symmetry is required, many phases exist with different symmetry protected topological orders. The symmetric local unitary equivalence relation also allows us to obtain some simple results for quantum phases in higher dimensions when some symmetries are present.

연구 동기 및 목표

• 특정 대칭을 가진 1D 스핀 체계에서 갭이 있고 국소적으로 얽힌 양자 위상을 모두 분류하는 것.
• 대칭이 전혀 없는 1D 체계에서 위상적 순서가 존재할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 국소 유니터리 등가성과 분해 표현의 프레임워크를 사용하여 대칭적 갭이 있는 위상을 완전히 분류하는 것.
• 이동 대칭과 등장 반전 대칭과 같은 추가 대칭을 포함한 체계로 분류를 확장하는 것.

제안 방법

• 짧은 상관관계를 가진 1D 갭이 있는 고체 상태를 기술하기 위해 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 사용한다.
• 상태들이 같은 위상에 속해 있을 때 연속적인 변형이 가능하도록 국소 유니터리(LU) 등가성 관계를 정의한다.
• 위상은 대칭군 $ G $의 분해 표현을 분류하는 두 번째 코homology 군 $ H^2(G, \mathbb{C}) $에 의해 분류된다.
• 국소 대칭군 $ G $의 선형 및 분해 표현을 모두 고려하며, 위상 인자 $ \alpha(g) $와 코사이클 $ \omega(g_1,g_2) $를 포함한다.
• MPS에서 부모 해밀토니안을 구성하여 갭이 있고 대칭적이며 이동 불변인 모델을 보장한다.
• 연속적인 LU 진동을 통한 대칭 상태와 고정점 상태 사이의 아디아바틱 연속성을 보여주어 같은 위상 내에서 LU 등가성이 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭이 전혀 없는 1D 양자 스핀 체계에서 위상적 순서가 존재할 수 있는가?
• RQ2 1D 체계에서 국소 대칭 $ G $ 가 존재할 경우 갭이 있는 위상은 어떻게 분류되는가?
• RQ3 분해 표현은 1D에서 대칭 보호된 위상적 위상 위상을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이동과 등장 반전 대칭의 포함이 서로 다른 갭이 있는 위상의 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 1D에서 모든 대칭적 갭이 있는 위상은 대칭적인 국소 유니터리 변환을 통해 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 어떠한 대칭도 없을 경우, 모든 갭이 있는 1D 스핀 체계는 동일한 위상에 있으며 비어 있는 제품 상태와 등가이며, 이는 대칭이 없을 경우 1D에서 위상적 순서가 존재하지 않음을 의미한다.
• 국소 대칭 $ G $ 가 있는 비이동 불변(NTI) 1D 체계에서, 갭이 있고 대칭적인 위상은 $ H^2(G, \mathbb{C}) $에 의해 분류되며, 이는 $ G $ 의 분해 표현을 분류한다.
• SO(3) 대칭을 가진 정수 스핀 사슬은 정확히 두 개의 서로 다른 갭이 있는 위상만 존재하며, 이는 $ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ 의 두 원소에 해당한다.
• 반정수 스핀 사슬도 동일한 $ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ 분류에도 불구하고 분해 표현으로 인해 정확히 두 개의 갭이 있는 대칭 위상 존재한다.
• $ \mathbb{Z}_n $ 대칭의 경우, $ H^2(\mathbb{Z}_n, \mathbb{C}) $ 가 자명하므로 갭이 있는 대칭 위상이 오직 하나뿐이다.
• $ U(1) $ 대칭의 경우, $ H^2(U(1), \mathbb{C}) $ 가 자명하더라도 무한한 1차원 표현과 그 단위근 회전 구조로 인해 정확히 세 개의 갭이 있는 대칭 위상이 존재한다.