[논문 리뷰] Classification of $N$-(super)-extended Poincaré algebras and bilinear invariants of the spinor representation of $Spin(p,q)$

Dmitry V. Alekseevsky, Vicente Cortés|arXiv (Cornell University)|1995. 11. 28.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 부호 (p,q)에 대해 Spin(p,q)의 스핀어 모듈러에 대한 so(V)-불변 이항형식을 분석하여 N-(초)-확장된 Poincaré 대수를 분류한다. 클리포드 모듈 모델과 Bott 주기성을 이용하여 독립적인 리 초대수와 대수의 수를 계산하며, 이들 차원 L^±(n,s)는 {0,1,2,3,4,6}에 값을 가지며 주기 8로 반복됨을 보여준다.

ABSTRACT

We classify extended Poincaré Lie super algebras and Lie algebras of any signature (p,q), that is Lie super algebras and Z_2-graded Lie algebras g = g_0 + g_1, where g_0 = so(V) + V is the (generalized) Poincaré Lie algebra of the pseudo Euclidean vector space V = R^{p,q} of signature (p,q) and g_1 = S is the spinor so(V)-module extended to a g_0-module with kernel V. The remaining super commutators {g_1,g_1} (respectively, commutators [g_1, g_1]) are defined by an so(V)-equivariant linear mapping vee^2 g_1 -> V (respectively, wedge^2 g_1 -> V). Denote by P^+(n,s) (respectively, P^-(n,s)) the vector space of all such Lie super algebras (respectively, Lie algebras), where n = p + q = dim V and s = p - q is the signature. The description of P^+-(n,s) reduces to the construction of all so(V)-invariant bilinear forms on S and to the calculation of three Z_2-valued invariants for some of them. This calculation is based on a simple explicit model of an irreducible Clifford module S for the Clifford algebra Cl_{p,q} of arbitrary signature (p,q). As a result of the classification, we obtain the numbers L^+-(n,s) = \dim P^+-(n,s) of independent Lie super algebras and algebras, which take values 0,1,2,3,4 or 6. Due to Bott periodicity, L^+-(n,s) may be considered as periodic functions with period 8 in each argument. They are invariant under the group Gamma generated by the four reflections with respect to the axes n=-2, n=2, s-1 = -2 and s-1 = 2. Moreover, the reflection (n,s) -> (-n,s) with respect to the axis s=0 interchanges L^+ and L^- : L^+(-n,s) = L^-(n,s).

연구 동기 및 목표

• 임의의 부호 (p,q)에 대해 모든 N-(초)-확장된 Poincaré 리 초대수와 리 대수를 분류하는 것.
• 각 부호 (p,q)에 대해 독립적인 이러한 대수의 수를 구하는 것. 이 수는 n = p+q, s = p-q로 정의된 L^+-(n,s)로 표기된다.
• Spin(p,q)의 스핀어 모듈러 S에 대한 so(V)-불변 이항형식을 계산하고, 관련된 Z_2 값 불변량을 식별하는 것.
• 네 개의 반사로 생성되는 군 Gamma에 의한 분류의 주기성과 대칭성 성질을 확립하는 것.
• 반사 (n,s) → (-n,s)에 의한 L^+와 L^- 사이의 이중성 관계를 명확히 하여 L^+(-n,s) = L^-(n,s)임을 보여주는 것.

제안 방법

• 임의의 부호 (p,q)에 대해 클리포드 대수 Cl_{p,q}의 기약 클리포드 모듈러 S의 명시적 모델을 구성하는 것.
• ∨^2 S에서 V로의 so(V)-등변 사상들을 통해 초대수의 초공액수 {g_1, g_1}과 공액수 [g_1, g_1]를 특성화하는 것.
• P^+-(n,s)의 분류를 스핀어 모듈러 S 위의 so(V)-불변 이항형식의 분류로 환원하는 것.
• 일부 이항형식과 관련된 세 개의 Z_2 값 불변량을 계산하여 서로 동치가 아닌 확장을 구별하는 것.
• Bott 주기성을 적용하여 L^+-(n,s)가 n과 s 양쪽 모두에 대해 주기 8의 함수임을 보이는 것.
• 네 개의 반사로 구성된 군 Gamma를 이용하여 대칭 관계를 확립하며, 특히 L^+(-n,s) = L^-(n,s)의 이중성 관계를 포함하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 부호 (p,q)에 대해 독립적인 N-(초)-확장된 Poincaré 대수는 몇 개인가?
• RQ2 Spin(p,q)의 스핀어 표현에 대한 so(V)-불변 이항형식은 무엇이며, 이는 어떻게 확장을 분류하는가?
• RQ3 이러한 대수의 차원 L^+-(n,s)는 부호 (p,q)에 따라 어떻게 의존하며, 그 행동을 지배하는 대칭성은 무엇인가?
• RQ4 Bott 주기성은 이러한 확장된 대수의 분류에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 반사 (n,s) → (-n,s)에 의한 L^+와 L^- 사이의 이중성은 어떻게 발생하며, 그 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 독립적인 N-(초)-확장된 Poincaré 대수의 수 L^+-(n,s)는 모든 부호 (p,q)에 대해 집합 {0,1,2,3,4,6}의 값을 가진다.
• L^+-(n,s)의 차원은 Bott 주기성에 의해 n = p+q와 s = p-q에 대해 모두 주기 8의 함수로 표현된다.
• 분류는 네 개의 반사로 생성되는 군 Gamma에 대해 불변이며, 이는 n = ±2, s-1 = ±2, 그리고 축 s = 0을 포함한다.
• 반사 (n,s) → (-n,s)는 L^+와 L^-를 서로 바꾸며, L^+(-n,s) = L^-(n,s)를 만족한다.
• 스핀어 모듈러 S를 클리포드 모듈러로 구성하는 것은 모든 부호 (p,q)를 분석하는 데 통일된 프레임워크를 제공한다.
• 분류는 S 위의 so(V)-불변 이항형식과 그에 관련된 Z_2 불변량의 계산으로 완전히 환원된다.