[논문 리뷰] Classification of Symmetry-Protected Phases for Interacting Fermions in Two Dimensions

Meng Cheng, Zhen Bi외 2명|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2015. 01. 06.

Atomic and Subatomic Physics Research인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 군 코hom로지와 결함 anyon 이론을 결합하여 상호작용하는 페르미온에 대한 총 대칭군 $G \times \mathbb{Z}_2^f$를 가진 두 차원 대칭 보호 양자 위상(SPT)의 완전한 분류를 제공한다. 그들은 군 슈퍼-코호몰로지 분류를 확장하여 추가로 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$의 구조를 포함함으로써 쌍극자 없는 마요라나 모서리 모드를 기록하고, 전체 분류가 $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$로 주어진다는 것을 보이며, 현장 대칭을 갖는 2차원 페르미온 SPT 위상의 분류 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Recently, it has been shown that two-dimensional bosonic symmetry-protected topological(SPT) phases with on-site unitary symmetry $G$ can be completely classified by the group cohomology class $H^3(G, \mathrm{U}(1))$. Later, group super-cohomology class was proposed as a partial classification for SPT phases of interacting fermions. In this work, we revisit this problem based on the mathematical framework of $G$-extension of unitary braided tensor category(UBTC) theory. We first reproduce the partial classifications given by group super-cohomology, then we show that with an additional $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ structure, a complete classification of SPT phases for two-dimensional interacting fermion systems for a total symmetry group $G imes\mathbb{Z}_2^f$ can be achieved. We also discuss the classification of interacting fermionic SPT phases protected by time-reversal symmetry.

연구 동기 및 목표

• 상호작용 페르미온에 대해 현장 유니터리 대칭 $G$를 갖는 두 차원 대칭 보호 양자 위상(SPT)의 완전한 분류를 제공하는 것.
• 군 슈퍼-코호몰로지에 의한 부분 분류를 확장하여, 쌍극자 없는 마요라나 제로 모드를 기록하는 추가적인 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$의 구조를 규명하는 것.
• 군 슈퍼-코호몰로지 분류에서 $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 항의 물리적 의미를 페르미온-parity $\pi$ 플럭스가 지닌 분할된 $\mathbb{Z}_2$ 양자수로 명확히 하는 것.
• 시간 역행 대칭을 포함한 반유니터리 대칭을 갖는 시스템으로 분류를 일반화하는 것.
• 2차원 양자 위상에서 대칭 결함의 대수적 이론과 anyon 융합 규칙을 사용하여 페르미온 SPT 위상의 분류를 통합하는 것.

제안 방법

• 저자들은 두 차원의 고정된 양자 위상에서 대칭 결함의 대수적 이론을 사용하여, 외재적 대칭 플럭스의 위상적 성질을 분석한다.
• 특히 페르미온-parity $\pi$ 플럭스와 그들의 분할된 양자수에 초점을 맞추어, 대칭 결함의 융합 규칙과 얽힘 통계를 연구함으로써 fSPT 위상을 분류한다.
• 이 방법은 페르미온 통계를 갖는 anyon 융합을 위한 $F$-기호를 구성하고, 오각형 방정식을 통해 일관성을 강제한다.
• 일관성에 대한 장애는 4-코호몰로지 $\mathrm{d}\nu$에 의해 상쇄되며, 이는 $(\mathrm{d}\nu)(g,h,k,l) = (-1)^{n(g,h)n(k,l)}$ 조건을 정의하고, 이는 $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 분류를 정의한다.
• $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 항은 $F$-기호의 $n$-함수로부터 유도된 $\pi$ 플럭스가 지닌 분할된 $\mathbb{Z}_2$ 양자수로 해석된다.
• $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 항은 $\mathbb{Z}_2$ 대칭 플럭스 상에 존재하는 쌍극자 없는 마요라나 제로 모드의 존재 조건으로 식별되며, 이러한 모드가 존재하는지 여부에 따라 위상을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현장 유니터리 대칭 $G$에 의해 보호되는 두 차원 상호작용 페르미온 SPT 위상의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$의 구조는 대칭 플럭스 상에 존재하는 쌍극자 없는 마요라나 제로 모드와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 군 슈퍼-코호몰로지 분류에서 $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 항의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 대칭 결함의 융합 및 얽힘 통계는 가능한 fSPT 위상에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 분류는 시간 역행 대칭을 포함하도록 확장될 수 있으며, 이는 유니터리 경우와 어떻게 다를까?

주요 결과

• 총 대칭이 $G \times \mathbb{Z}_2^f$인 2차원 상호작용 페르미온 SPT 위상의 완전한 분류는 군 슈퍼-코호몰로지 분류를 확장하여 $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$의 곱으로 주어진다.
• $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 항은 쌍극자 없는 마요라나 모서리 모드를 갖는 위상을 분류하며, 이러한 모드는 대칭 플럭스에 의해 보호되며 $\mathbb{Z}_2$ 플럭스 상에 존재하는 제로 모드의 존재를 의미한다.
• $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 항은 $F$-기호의 비자명한 $n$-함수로부터 기인한 $\pi$ 플럭스가 지닌 분할된 $\mathbb{Z}_2$ 양자수로 물리적으로 해석된다.
• $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 항은 기존의 보존 SPT 위상 분류에 해당하며, $F$-기호의 $\nu$-요소로부터 기인한다.
• $G = \mathbb{Z}_2$인 경우 전체 분류는 $\mathbb{Z}_8$ 위상으로 이어지며, 이는 $H^1(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$, $BH^2(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$, $H^3(\mathbb{Z}_2, \mathrm{U}(1)) = \mathbb{Z}_2$의 기여로 일관되며 $\mathbb{Z}_8$ 군의 구조를 따르는 바이다.
• 오각형 방정식은 장애 $(-1)^{n(g,h)n(k,l)}$가 4-코호몰로지 $\mathrm{d}\nu$에 의해 상쇄될 때에만 만족되며, 이는 $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 조건을 강제하고 anyon 이론의 일관성을 확보한다.