[논문 리뷰] Classification of symmetry protected topological phases in quantum spin chains

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 10.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원 양자 스핀 체인에서 대칭 보호 양자 위상의 엄밀한 연산자 대수적 분류를 제공하며, SPT 위상은 1차원에서 $H^2(G, U(1))$이고 2차원에서 $H^3(G, U(1))$로 분류됨을 증명한다. 무한계 시스템에서 자명한 자기연산과 코ycle 작용을 사용하여 명시적인 불변량을 구성함으로써 물리학자들이 제기한 추측을 확인하고, Dijkgraaf-Witten 모델을 무한한 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We consider the classification problem of symmetry protected topological (SPT) phases on quantum spin systems. SPT phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry $G$. We explain that in one and two-dimensional quantum spin systems, there are $H^{2}(G, U(1))$/ $H^{3}(G, U(1))$-valued invariant, confirming a physicists conjecture.

연구 동기 및 목표

• 양자 스핀 시스템에서 대칭 보호 양자 위상(SPT)을 연산자 대수적 방법을 사용하여 수학적으로 엄밀하게 분류하는 것.
• 유한한 현장 대칭군 $G$에 대해 $\nu$-차원 시스템에서 SPT 위상은 $H^{\nu+1}(G, U(1))$로 분류된다는 물리학자들의 추측을 확인하는 것.
• 1차원 및 2차원에서 각각 $H^2(G, U(1))$- 및 $H^3(G, U(1))$-값을 갖는 불변량을 무한계 시스템에서 자명한 자기연산과 코ycle 작용을 사용하여 정의하고 구성하는 것.
• 무한체적 극한에서 Dijkgraaf-Witten 위상 양자장 이론과 SPT 위상의 분류 간의 연결 고리를 확립하는 것.

제안 방법

• 양자 스핀 시스템과 그 시간 진동을 강한 연속적인 하나의 매개변수 자동형사군으로 기술하기 위해 $C^*$-동역학계의 프레임워크를 사용한다.
• 무한계 시스템에서 고유한 갭이 있는 기본 상태의 존재를 보장하기 위해 스플릿 성질을 적용함으로써 위상 불변량의 정의를 가능하게 한다.
• 1차원 시스템에 대해 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 구성하고, 프로젝티브 표현과 유니터리 코ycle을 통해 $H^2(G, U(1))$-값을 갖는 인덱스를 정의한다.
• 2차원 시스템의 경우, 세 개의 자동형사 $\sigma^{(0)}, \sigma^{(1)}, \sigma^{(2)}$와 그들의 코바운더리 맵을 사용하여 $H^3(G, U(1))$-값을 갖는 인덱스를 정의한다.
• Dijkgraaf-Witten 모델을 $H^3(G, U(1))$-값을 갖는 인덱스의 구체적 실현으로 사용하며, 3-코ycle $\Psi^3(\nu)$는 유니터리 코ycle $V(g,h)$에서 유도된다.
• 군 코homology 이론을 적용하여 자동형사 작용과 그 교환자들이 코homology 클래스와 어떻게 관련되는지 분석함으로써 위상 불변성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 양자 스핀 체인에서 SPT 위상은 어떻게 군 코hom올로지로 분류될 수 있는가?
• RQ2 1차원 SPT 위상에서 $H^2(G, U(1))$-값을 갖는 불변량의 정밀한 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 현장 대칭 $G$를 가진 2차원 SPT 위상에서 $H^3(G, U(1))$-값을 갖는 인덱스는 어떻게 도출되는가?
• RQ4 Dijkgraaf-Witten 모델은 무한계 시스템 극한에서 물리적 SPT 위상으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 스플릿 성질은 무한한 양자 스핀 시스템에서 위상 불변량의 정의와 안정성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 현장 대칭군 $G$를 가진 1차원 양자 스핀 체인에서 SPT 위상은 두 번째 군 코homology 군 $H^2(G, U(1))$로 분류됨을 증명한다.
• 2차원 시스템에서는 SPT 위상의 분류가 세 번째 군 코homology 군 $H^3(G, U(1))$로 주어지며, 이는 물리학자들이 제기한 추측을 확인한다.
• 자기연산과 3-코ycle $\Psi^3(\nu)$를 사용하여 명시적인 $H^3(G, U(1))$-값을 갖는 인덱스를 구성하였으며, 이는 Dijkgraaf-Witten 모델의 유니터리 코ycle $V(g,h)$에서 유도된다.
• $H^2(G, U(1))$-인덱스는 시스템 경계에서 대칭군 $G$의 프로젝티브 표현을 사용하여 행렬 곱 상태와 유니터리 연산자를 통해 유도된다.
• 해밀토니안의 매끄러운 변형에 대해 갭이 열리지 않는 한, 대칭이 유지되고 기본 상태가 고유하고 갭이 있는 조건에서 분류는 안정하다.
• 이 구성은 무한계 시스템 극한에서도 유효하며, 힐베르트 공간이 무한차원일 때에만 위상 불변량이 비자명해지며, 프레드홀름 인덱스와 유사하다.