[논문 리뷰] Classification of the Z2Z4-linear Hadamard codes and their automorphism groups

Denis S. Krotov, Mercè Villanueva|Dipòsit Digital de Documents de la UAB (Universitat Autònoma de Barcelona)|2014. 08. 05.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 길이 $2^t$인 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드를 분류하여, $\alpha=0$인 모든 이러한 코드가 $\alpha\neq0$인 코드와 동치임을 증명함으로써, 동치가 아닌 코드의 수를 $\lfloor t/2 \rfloor$로 줄였다. 또한, 해당 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-덧셈 코드의 단항 자기동형군의 순서와 대응되는 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 코드의 치환 자기동형군의 순서를 계산한다.

ABSTRACT

A $Z_2Z_4$-linear Hadamard code of length $α+2β=2^t$ is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a $Z_2Z_4$-additive code with $α$ binary coordinates and $β$ quaternary coordinates. It is known that there are exactly $[(t-1)/2]$ and $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$, with $α=0$ and $α ot=0$, respectively, for all $t\geq 3$. In this paper, it is shown that each $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α=0$ is equivalent to a $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α ot=0$; so there are only $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$. Moreover, the order of the monomial automorphism group for the $Z_2Z_4$-additive Hadamard codes and the permutation automorphism group of the corresponding $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes are given.

연구 동기 및 목표

• 길이 $2^t$인 $t \geq 3$에 대해 동치가 아닌 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드를 분류하는 것.
• $\alpha=0$인 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드가 $\alpha\neq0$인 경우와 동치인지 여부를 해결하는 것.
• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-덧셈 해더 코드의 유형 $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$에 대해 단항 자기동형군의 정확한 순서를 결정하는 것.
• 해당 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드에 대한 치환 자기동형군의 순서를 결정하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-덧셈 코드를 이진 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 코드로 변환하기 위해 그레이 사상 $\Phi$를 사용한다.
• 그들은 $\delta=2$이고 $\gamma = \tilde{\gamma}+1$인 유형 $(\alpha,\beta;\gamma,\delta)$의 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-덧셈 코드의 구조를 분석하며, 특히 그 자기동형군에 초점을 맞춘다.
• 그들은 코드 구조에 대해 자동형으로 작용하는 여섯 가지 특정 치환 $\psi$를 정의하고 분류한다. 특히 크기가 4인 블록에 대해 중점을 둔다.
• 그들은 각 블록의 좌표를 고정하는 아핀 치환은 항등사상이어야 한다는 것을 모순을 통해 증명하며, 아핀 사상과 핵의 성질을 이용한다.
• 그들은 여섯 치환을 $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 위의 비특이 아핀 변환과 조합하여 전체 자기동형군을 구성한다.
• 그들은 $2^i - 1$에 대한 곱과 $\tilde{\gamma}$에 대한 지수항을 포함하는 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\alpha=0$인 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드는 $\alpha\neq0$인 경우와 동치인가?
• RQ2 $t \geq 3$에 대해 길이 $2^t$인 동치가 아닌 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드는 총 몇 개인가?
• RQ3 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-덧셈 해더 코드의 유형 $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$에 대해 단항 자기동형군의 순서는 무엇인가?
• RQ4 해당 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드에 대한 치환 자기동형군의 순서는 무엇인가?

주요 결과

• $\alpha=0$인 모든 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드는 $\alpha\neq0$인 코드와 동치이므로, $t \geq 3$일 때 길이 $2^t$인 동치가 아닌 코드의 총 수는 $\lfloor t/2 \rfloor$이다.
• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-선형 해더 코드의 유형 $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$에 대한 자기동형군은 모든 치환 $\psi\alpha$로 이루어져 있으며, 여기서 $\alpha$는 $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 위의 비특이 아핀 변환이고 $\psi$는 여섯 가지 특정 치환 중 하나이다.
• 자기동형군의 순서는 $|\mathrm{Aut}(C)| = 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}\tilde{\gamma}(\tilde{\gamma}+1) + 4\tilde{\gamma} + 9} \cdot 3 \prod_{i=1}^{\tilde{\gamma}} (2^i - 1)$이다.
• 여섯 치환 $\psi$는 명시적으로 구성되었으며, 코드 구조를 유지함을 보여주며, 순서가 6인 군을 이룬다.
• 증명은 각 블록에서 좌표를 고정하는 아핀 자기동형이 항등사상이어야 한다는 것을 아핀 사상의 핵과 이미지 분석을 통해 보여준다.
• 유도된 군의 순서는 하한과 상한과 일치하여, 자기동형군 서술의 완전성을 확인한다.