[논문 리뷰] Classification of topological insulators and superconductors in three spatial dimensions

Andreas P. Schnyder, Shinsei Ryu외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 19.

Topological Materials and Phenomena인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 3차원 공간에서 10가지의 Altland-Zirnbauer 대칭 분류를 사용하여 위상적 절연체와 초전도체를 분류하며, 위상적으로 비자명한 상을 가진 5개의 대칭 클래스를 식별한다. 이러한 상들은 운동량 공간에서 정수 winding 수로 특징지어지며, 불순물에 영향을 받지 않는 강건한 디랙 또는 마요라나 표면 모드를 가지며, 게이지 및 갭 변동을 포함할 경우 비자명한 위상적 기본 상태 디지너시를 가진다.

ABSTRACT

We systematically study topological phases of insulators and superconductors (SCs) in 3D. We find that there exist 3D topologically non-trivial insulators or SCs in 5 out of 10 symmetry classes introduced by Altland and Zirnbauer within the context of random matrix theory. One of these is the recently introduced Z_2 topological insulator in the symplectic symmetry class. We show there exist precisely 4 more topological insulators. For these systems, all of which are time-reversal (TR) invariant in 3D, the space of insulating ground states satisfying certain discrete symmetry properties is partitioned into topological sectors that are separated by quantum phase transitions. 3 of the above 5 topologically non-trivial phases can be realized as TR invariant SCs, and in these the different topological sectors are characterized by an integer winding number defined in momentum space. When such 3D topological insulators are terminated by a 2D surface, they support a number (which may be an arbitrary non-vanishing even number for singlet pairing) of Dirac fermion (Majorana fermion when spin rotation symmetry is completely broken) surface modes which remain gapless under arbitrary perturbations that preserve the characteristic discrete symmetries. In particular, these surface modes completely evade Anderson localization. These topological phases can be thought of as 3D analogues of well known paired topological phases in 2D such as the chiral p-wave SC. In the corresponding topologically non-trivial and topologically trivial 3D phases, the wavefunctions exhibit markedly distinct behavior. When an electromagnetic U(1) gauge field and fluctuations of the gap functions are included in the dynamics, the SC phases with non-vanishing winding number possess non-trivial topological ground state degeneracies.

연구 동기 및 목표

• 3차원 공간에서 10가지의 Altland-Zirnbauer 대칭 분류를 사용하여 위상적 절연체와 초전도체를 체계적으로 분류하는 것.
• 특히 시간역행 대칭을 갖는 시스템에 초점을 맞춰, 3차원에서 위상적으로 비자명한 상을 지닌 대칭 클래스를 결정하는 것.
• 초전도 상의 경우 운동량 공간에서의 정수 winding 수를 통해 위상적 영역를 특성화하는 것.
• 불순물과 외부 교란에 의해 보호되는, 갭이 없는 표면 모드—디랙 또는 마요라나 페르미온—의 존재를 확립하는 것.
• 게이지 및 갭 변동을 포함한 초전도 상에서 비자명한 위상적 기본 상태 디지너시를 탐구하는 것.

제안 방법

• 시간역행 대칭(TRS), 입자-홀 대칭(PHS), 캐릭터리스틱(하나의 서브격자) 대칭(SLS)에 기반한 단일 입자 해밀토니안의 10가지 분류를 사용하며, TRS와 PHS는 반유니터리 연산자의 제곱에 따라 ±1로 표기된다.
• 이산 대칭 하에서 절연 상태의 공간을 분석하여, 정수 또는 ℤ₂ 위상수로 표시되는 위상적 영역로 분할한다.
• 시간역행 대칭을 갖는 클래스(DIII, AIII, CI)에서의 위상적 초전도체를 특성화하기 위해 운동량 공간에서의 winding 수 위상수를 적용한다.
• 비자명한 위상적 구조를 가진 3차원 시스템에서의 부스터-경계 상호작용을 분석하여 갭이 없는 표면 모드의 존재를 도출한다.
• U(1) 게이지 장과 갭 함수 변동의 영향을 고려하여, 초전도 상에서 비자명한 위상적 기본 상태 디지너시를 보여준다.
• 운반 이론을 사용하여, 디랙 콘의 구조와 대칭성에 기반한, 불순물에 영향을 받지 않는 보편적인 운반 계수(스핀 및 열 운반도)를 예측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 공간에서 10가지의 Altland-Zirnbauer 대칭 클래스 중 어느 것이 위상적으로 비자명한 절연체 또는 초전도체를 지니는가?
• RQ2 이러한 시스템의 위상적 영역는 어떻게 특성화되며, 정수 winding 수 또는 ℤ₂와 같은 위상적 불변량으로 어떻게 표기되는가?
• RQ3 3차원 위상적 절연체의 표면 모드는 어떤 성질을 가지며, 불순물과 상호작용에 의해 어떻게 보호되는가?
• RQ4 전자기 U(1) 게이지 장과 갭 변동은 초전도 상에서 위상적 기본 상태 디지너시에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 보편적인 운반 계수(예: 스핀 또는 열 운반도)는 이러한 위상적 상의 실험적 서명으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 3차원에서 10개의 대칭 클래스 중 5개가 위상적으로 비자명한 절연체 또는 초전도체를 지닌다. 최근 발견된 심플렉틱(AII) 클래스의 ℤ₂ 위상적 절연체를 포함한다.
• 이 5개의 비자명한 상 중 3개는 운동량 공간에서 정수 winding 수로 특징지어지는 시간역행 대칭을 갖는 초전도체이다.
• 이 3차원 위상적 절연체의 표면 모드는 불순물 및 관련 이산 대칭을 유지하는 임의의 교란에도 갭이 없는 강건한 디랙 또는 마요라나 페르미온이다.
• 비영인 winding 수를 가진 초전도 상에서 U(1) 게이지 장과 갭 변동을 포함하면 비자명한 위상적 기본 상태 디지너시가 발생한다.
• 표면의 스핀 운반도(σˣˣˢᵖⁱⁿ)와 온도로 나눈 열 운반도(κˣˣ/T)는 보편적이며 불순물에 영향을 받지 않으며, 각 디랙 또는 마요라나 페르미온 모드에 대해 자연 단위에서 순위 수준의 값을 가진다.
• DIII 클래스에서는 마요라나 페르미온이 나타나며, 이 경우 열 운반도는 디랙 페르미온의 절반으로, 여러 종류의 기여는 덧셈적으로 작용하며 대칭에 의해 불순물 산란이 금지된다.