[논문 리뷰] Classifying Types

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 22.

Logic, programming, and type systems인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 유형 이론을 사용하여 합성 호모토피 이론의 기초 도구를 개발하며, 고차 호모토피 포함형, 호모토피 쌍대합에 대한 내림내림성, 그리고 반사 부분유니버스에 초점을 맞춘다. 국소화가 컴act 유형 간의 사상에 대해 이루어질 경우 반사 부분유니버스가 됨을 입증하며, N-널 유형의 부분유니버스가 모달리티임을 보여주어 호모토피 유형 이론에서 모달리티와 등가구조적 교체를 구성하는 데 핵심이 된다.

ABSTRACT

The study of homotopy theoretic phenomena in the language of type theory is sometimes loosely called `synthetic homotopy theory'. Homotopy theory in type theory is only one of the many aspects of homotopy type theory, which also includes the study of the set theoretic semantics (models of homotopy type theory and univalence in a meta-theory of sets or categories), type theoretic semantics (internal models of homotopy type theory), and computational semantics, as well as the study of various questions in the internal language of homotopy type theory which are not necessarily motivated by homotopy theory, or questions related to the development of formalized libraries of mathematics based on homotopy type theory. This thesis concerns the development of synthetic homotopy theory.

연구 동기 및 목표

• 유형 이론 내에서 고차 호도형 포함형과 내림내림성 성질에 초점을 맞춘 합성 호모토피 이론의 개발.
• 호모토피 유형 이론에서 반사 부분유니버스와 모달리티의 구조를 특성화.
• 컴 pact 유형 간 사상에 대한 국소화 이론을 구축하여 모달리티를 생성하는 데 기여.
• 등가구조적 교체 연산을 정의하고 분석하여 호모토피 쌍대합을 다루는 데의 도구로 활용.
• N-널 유형의 부분유니버스가 모달리티임을 입증하여 유형 이론에서 새로운 유형의 모달리티를 제공.

제안 방법

• 호모토피 쌍대합, 동치류, 순차 쌍대합 등을 포함한 고차 호도형 포함형(HITs)을 사용하여 유형을 합성적으로 구성.
• 쌍대합 위의 유형 가족을 다이어그램 데이터로부터 재구성하기 위해 쌍대합과 반사 동치류에 대한 내림내림성 성질을 적용.
• 유형 이론에서 명제적 절단과 사상의 이미지를 정의하기 위해 조인 구조를 도입.
• 반사 분해 체계를 반사 동치류에 대해 구성하고, 등가구조적 교체를 모델링하기 위해 ∆-에탈 맵을 정의.
• 가족 형태의 사상에 대한 국소화를 시작하기 위해, 준 F-국소적 확장을 푸시아우트 구조로 정의.
• 준 F-국소적 확장의 순차 쌍대합을 사용하여 전체 국소화 함수를 구성하고, 그 반사성 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 쌍대합인 쌍대합과 동치류가 고차 호도형 포함형을 통해 유형 이론에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 일부 사상에 대해 닫혀 있는 유형의 부분유니버스가 반사적일 조건은 무엇인가?
• RQ3 컴 pact 유형 간 사상에 대한 국소화가 유형 이론에서 합성적으로 구성될 수 있으며, 이로 인해 모달리티가 도출되는가?
• RQ4 등가구조적 교체 연산은 모달 내림내림성과 반사 분해 체계와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 물체 분류자(객체 분류자)는 유형을 분류하고 합성 호모토피 이론에서 유일성 원리를 지원하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• N-널 유형의 부분유니버스가 모달리티임을 입증하여 호모토피 유형 이론에서 새로운 유형의 모달리티를 제공.
• 컴 pact 유형 간 사상에 대한 국소화는 반사 부분유니버스를 유도하며, 국소화 함수는 준 F-국소적 확장의 순차 쌍대합으로 구성됨.
• 초기 준 F-국소적 확장은 대각선 메꾸기 유형을 포함한 보편 성질을 통해 특성화되며, 국소화 과정에서의 역할을 확립.
• 쌍대합과 반사 동치류에 대한 내림내림성 성질은 다이어그램의 데이터로부터 쌍대합 위의 유형 가족을 재구성할 수 있도록 허용.
• 등가구조적 교체 연산은 반사 분해 체계를 통해 구성되며, 순차 쌍대합을 포함한 다양한 호모토피 쌍대합으로 일반화됨.
• 국소화 함수가 반사적임을 증명하는 데에는 3개 중 2개 성질과 F-국소적일 경우 대각선 메꾸기 유형의 수축성에 의존함.