[논문 리뷰] Claw-freeness, 3-homogeneous subsets of a graph and a reconstruction problem

Maurice Pouzet, Hamza Si Kaddour외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 07.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 클로우-free이자 코-클로우-free인 그래프의 구조를 규명하며, 이들이 경로, 짝수 사이클, 그들의 여집합, 그리고 $A_6$와 $P_9$와 같은 특정 예외 그래프로 구성됨을 보여준다. 또한 두 그래프가 동일한 3원소 동질 부분집합(클리크 또는 독립집합)을 가지는 것은 그들의 대칭차가 이분 그래프 엣지-그래프와 관련된 특정 구조 조건을 만족함과 동치임을 입증한다.

ABSTRACT

We describe ${ m Forb}\{K_{1,3}, \bar {K_{1,3}}\}$, the class of graphs $G$ such that $G$ and its complement $\bar{G}$ are claw-free. With few exceptions, it is made of graphs whose connected components consist of cycles of length at least 4, paths, and of the complements of these graphs. Considering the hypergraph ${\mathcal H}^{(3)}(G)$ made of the 3-element subsets of the vertex set of a graph $G$ on which $G$ induces a clique or an independent subset, we deduce from above a description of the Boolean sum $G\dot{+}G'$ of two graphs $G$ and $G'$ giving the same hypergraph. We indicate the role of this latter description in a reconstruction problem of graphs up to complementation.

연구 동기 및 목표

• 모든 그래프 $G$의 클래스를 규명하여 $G$와 그 여집합 $\overline{G}$가 모두 클로우-free임을 보장하는 조건을 찾는 것, 즉 $G \in \mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$.
• 동일한 3원소 동질 부분집합(클리크 또는 독립집합)을 유도하는 두 그래프의 부울 합 $G \mathbin{\dot{+}} G'$를 기술하는 것.
• 그래프의 3-동질 부분집합 간 동치성을 바탕으로 보완에 대해 복원 문제를 해결하는 것.
• 그래프의 엣지-그래프와 그 대칭차의 이분 구조 사이의 구조적 연결 고리를 확립하는 것.

제안 방법

• 3원소 부분집합이 클리크 또는 독립집합을 유도하는 $V(G)$의 3원소 부분집합을 하이퍼모서리로 가지는 하이퍼그래프 $\mathcal{H}^{(3)}(G)$의 사용.
• 부울 합 $G \mathbin{\dot{+}} G'$를 간선 집합의 대칭차로 정의하는 것, 즉 $E(G \mathbin{\dot{+}} G') = E(G) \mathbin{\Delta} E(G')$.
• 그래프 $U$의 엣지-그래프 $S(U)$를 구성하는 것: 정점은 $U$의 간선이며, 간선은 길이 2인 경로 중 하나의 간선가 빠진 경우를 나타낸다.
• 특정 조건을 만족할 때 $S(U)$와 $S(\overline{U})$가 이분 그래프임을 증명하는 것: $U$가 동일한 3-동질 부분집합을 유도하는 두 그래프의 대칭차일 때이다.
• 구조적 분해의 사용: $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$에 속하는 그래프는 경로, 짝수 사이클, 그들의 여집합, 그리고 $A_6$ 또는 $P_9$의 합집합으로 표현됨을 보여준다.
• 정점 집합을 $V^0$과 $V^1$으로 분할하고 인덱스의 기수성에 따라 간선 집합을 정의함으로써, 명시적인 분해 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 그래프 $G$ 중에서 $G$와 $\overline{G}$가 모두 클로우-free인 그래프의 완전한 구조는 무엇인가?
• RQ2 두 그래프 $G$와 $G'$가 동일한 3원소 동질 부분집합(클리크 또는 독립집합)을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 동일한 3-동질 부분집합을 유도하는 두 그래프의 대칭차 $G \mathbin{\dot{+}} G'$는 어떤 특성을 가지는가?
• RQ4 엣지-그래프 구성 $S(U)$는 어떻게 이러한 대칭차를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 $P_9$와 $A_6$는 $G$와 $\overline{G}$가 모두 클로우-free인 그래프의 분류에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 클래스 $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$는 $A_6$, $P_9$의 유도 부분그래프, 경로 또는 짝수 사이클로 구성된 그래프, 그리고 이러한 그래프의 여집합으로 이루어져 있다.
• 이 클래스에 속하면서 삼각형과 여집합 삼각형(코-삼각형)을 공통 정점을 가지지 않고 포함하는 유일한 그래프는 $A_6$와 $\overline{A_6}$이다.
• 두 그래프 $G$와 $G'$가 동일한 3원소 동질 부분집합을 가지는 것은 $S(G \mathbin{\dot{+}} G')$와 $S(\overline{G \mathbin{\dot{+}} G'})$가 모두 이분 그래프임과 동치이다.
• 대칭차 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$는 $U$가 $P_9$의 유도 부분그래프이거나, $U$의 구성요소(또는 $\overline{U}$의 구성요소)가 짝수 사이클 또는 경로임을 만족한다.
• 구성요소가 짝수 사이클 또는 경로인 그래프 $U$에 대해, $M_n$, $M'_n$, $M''_n$ 그래프를 통해 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$를 만족하는 $G$와 $G'$의 명시적 구성이 제시된다.
• 그래프 $U$가 이분 그래프이면 엣지-그래프 $S(U)$는 이분 그래프이며, $U$가 짝수 사이클 또는 경로의 분리된 합집합(또는 그들의 여집합)이면 $S(\overline{U})$는 이분 그래프이다. 이는 이러한 분해의 존재를 보장한다.