[논문 리뷰] Clifford Algebras, Supersymmetry and $Z_n-$symmetries: Applications in Field Theory

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|1998. 02. 20.

Advanced NMR Techniques and Applications참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 클리포드 대수와 $Z_n$-대칭을 사용하여 초대칭을 일반화하는 프레임워크를 제안하며, 이로 인해 순서 $F$의 분수 초대칭(FSUSY)이 도출된다. 일반화된 그라스만 대수를 통해 $q$-데오퍼드 하이젠베르크 대수를 구성함으로써, 표준 초대칭을 확장하는 비선형으로 닫힌 대칭을 도출하고, 이는 일차원 월드라인, 이차원 등각 양자장론, 그리고 anyon을 포함하는 1+2차원 시공간에 적용된다.

ABSTRACT

After a short introduction on Clifford algebras of polynomials, we give a general method of constructing a matrix representation. This process of linearization leads naturally to two fundamental structures: the generalized Clifford algebra (GCA) and the generalized Grassmann algebra (GGA) which are studied. Then, it is proved that if we equip the GGA with a differential structure, we obtain the $q-$deformed Heisenberg algebra or the $q-$oscillators. Finally, it is shown that the $q-$deformed Heisenberg algebra is the basic tool to define an adapted superspace leading to the extension of supersymmetry called fractional supersymmetry of order $F$ (FSUSY), $F=2$ corresponding to the usual supersymmetry. Local FSUSY in one dimension is then contructed in the world-line formalism, and an extension of the Dirac equation is obtained. In two dimensions, it turns out that FSUSY is a conformal field theory and in addition to the stress energy tensor, a supercurrent of conformal weight $1+1/F$, which generates a symmetry between the primary fields of conformal weight $(0,1, \cdots, 1-1/F$), is obtained. The algebra is explicitly constructed. We also show that in $1+2$ dimensions FSUSY is a non-trivial extension of the Poincaré algebra which generates a symmetry among fractional spin states or anyons. Unitarity of the representation is checked. Finally, we prove that, independently of the dimension, a natural classification emerges according to the decomposition of $F$ as a product of prime numbers and that FSUSY is a symmetry which closes non-linearly, and is sustained by mathematical structures that go beyond Lie or super-Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• 표준 초대칭을 $Z_n$-대칭과 클리포드 대수를 기반으로 하는 새로운 대칭의 클래스를 도입하여 일반화하는 것.
• 일반화된 클리포드 대수와 그라스만 대수를 사용하여 $q$-데오퍼드 진동자들을 기술하는 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 순서 $F$의 일관된 분수 초대칭(FSUSY)을 구성하며, $F=2$일 때 표준 초대칭으로 복원됨을 보여주는 것.
• FSUSY를 일차원 월드라인 모델과 이차원 등각 양자장론에 적용하는 것.
• FSUSY를 1+2차원으로 확장하여, 분수 스핀 상태(아니온)에서의 작용과 단위 표현의 일관성을 보여주는 것.

제안 방법

• 다항식 클리포드 대수의 행렬 표현을 선형화하여 일반화된 클리포드 대수(GCA)와 일반화된 그라스만 대수(GGA)를 도출하는 것.
• GGA에 미분 구조를 부여하여 $q$-데오퍼드 하이젠베르크 대수를 유도하며, 이는 $q$-진동자들을 지배한다.
• $q$-진동자 대수를 기반으로 하여 분수 초대칭(FSUSY)의 순서 $F$에 대한 확장된 초공간을 정의하는 것.
• 월드라인 형식을 적용하여 일차원에서 국소적 FSUSY를 구성하고, 일반화된 디랙 방정식에 이를 이르는 것.
• 이차원의 경우를 등각 양자장론으로 분석하여, 등각 차수 $1 + 1/F$인 슈퍼전류를 식별하며, 이는 등각 차수 $0, 1, \dots, 1 - 1/F$를 가진 주요 장들에 작용한다.
• 구성 과정을 1+2차원으로 확장하여, FSUSY가 비선형으로 닫혀 있으며, 아니온에 작용함을 보이며, 단위 표현이 확인됨을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 초대칭은 어떻게 $Z_n$-대칭과 클리포드 대수를 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 그라스만 대수에서 도출된 $q$-데오퍼드 하이젠베르크 대수의 기초가 되는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 순서 $F$의 분수 초대칭은 일차원 월드라인 모델에서 일관되게 실현될 수 있는가?
• RQ4 등각 차수 $1 + 1/F$인 슈퍼전류는 이차원 등각 양자장론에서 FSUSY와 함께 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 FSUSY는 1+2차원에서 파oincaré 대수를 어떻게 확장하는가? 그리고 그 단위 표현은 일관성 있는가?

주요 결과

• $q$-데오퍼드 하이젠베르크 대수는 일반화된 그라스만 대수의 미분 구조로부터 자연스럽게 도출되며, 이는 FSUSY의 대수적 기초를 제공한다.
• 순서 $F$의 분수 초대칭은 표준 초대칭의 비선형으로 닫힌 확장으로 구성되며, $F=2$일 때 기존의 초대칭으로 복원된다.
• 이차원에서는 FSUSY가 등각 차수 $1 + 1/F$인 슈퍼전류를 지닌 등각 양자장론이며, 등각 차수 $0, 1, \dots, 1 - 1/F$를 가진 주요 장들에 작용한다.
• 1+2차원에서는 FSUSY가 파oincaré 대수의 비자명한 확장으로서 분수 스핀 상태(아니온)에 작용하며, 단위 표현이 확인되었다.
• FSUSY는 $F$의 소인수 분해를 통해 자연스럽게 분류되며, 리 대수나 초리 대수 이외의 깊은 수학적 구조를 드러낸다.
• 이 프레임워크는 차원 간에 일관되며, FSUSY가 $q$-데오퍼션과 $Z_n$-대칭에 뿌리를 둔 일반화된 대수적 구조에 의해 지속됨을 보여준다.