[논문 리뷰] Clifford theory for Yokonuma--Hecke algebras and deformation of complex reflection groups

Nicolas Jacon, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 작용을 통해 요코누마–헤크 대수에서 유도된 두 가지 새로운 대수의 클래스를 제안한다: 하나는 땅이 달린 브레이드 대수(BTₙ)와 동형인 대수이고, 另一个是 복소 반사군 G(d, p, n)의 새로운 변형이다. 클리포드 이론을 이용해, 양자화된 경우와 모듈러 경우 모두에서 기약 표현을 완전히 파arameter화하였으며, 이러한 대수에 대한 개념적 프레임워크와 새로운 표현을 제공한다. 특히 d = p = 2일 때 Dₙ 웨일 군의 변형에 대해 새로운 표현을 제시한다.

ABSTRACT

We define and study an action of the symmetric group on the Yokonuma--Hecke algebra. This leads to the definition of two classes of algebras. The first one is connected with the image of the algebra of the braid group inside the Yokonuma--Hecke algebras, and in turn with an algebra defined by Aicardi and Juyumaya known as the algebra of braids and ties. The second one can be seen as new deformations of complex reflection groups of type G(d,p,n). We provide several presentations for both algebras and a complete study of their representation theories using Clifford theory.

연구 동기 및 목표

• 요코누마–헤크 대수 Yd,n에서 대칭군 작용에 의한 고정점 부분대수로서 유도되는 두 가지 새로운 대수의 정의 및 연구.
• 클리포드 이론을 이용해 이러한 대수에 대한 개념적이고 체계적인 표현 이론 수립.
• d ≥ n일 때 브레이드와 땅이 달린 대수 BTₙ이 Sₚ-고정점 부분대수와 동형임을 증명.
• Yd,n에서 Z/pZ 작용을 통해 복소 반사군 G(d, p, n)의 군 대수에 대한 새로운 변형을 구성.
• 새로운 변형 대수에 대한 명시적 표현과 기저 제공, 특히 d = p = 2일 때 Dₙ의 경우 단순한 표현 제공.

제안 방법

• 대칭군 Sd가 요코누마–헤크 대수 Yd,n에 자동형으로 작용하도록 정의하며, 이는 t-연산자들의 순열에 의해 유도된다.
• 전체 Sd 작용에 대한 고정점 부분대수로 첫 번째 대수를 구성하고, 이 대수가 Yd,n에서 브레이드 군의 상과 동형임을 보인다.
• Sd의 Z/pZ 부분군에 대한 고정점 부분대수로 두 번째 대수를 구성하며, 이때 p는 d를 나눈다.
• 클리포드 이론을 이용해 Yd,n의 표현 이론을 고정점 부분대수로 옮기며, Yd,n-모듈의 기존 파arameter화를 활용한다.
• 고정점 부분대수의 여러 표현을 제공하며, 특히 G(d, p, n) 유형의 브레이드 군의 몫으로서 명시적 관계를 포함한다.
• 생성자 간의 명시적 준동형을 통해 동형관계를 검증하며, 양방향으로 정의 관계가 유지됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레이드와 땅이 달린 대수 BTₙ은 요코누마–헤크 대수 Yd,n의 Sd-고정점 부분대수와 동형인가?
• RQ2 요코누마–헤크 대수를 이용해 복소 반사군 G(d, p, n)의 유형에 대한 새로운 변형을 구성할 수 있는가?
• RQ3 클리포드 이론을 통해 고정점 부분대수의 표현 이론을 어떻게 systematic하게 연구할 수 있는가?
• RQ4 새로운 변형 대수에 대해 명시적 표현과 기저는 무엇이 있으며, 특히 Dₙ의 경우는 어떠한가?
• RQ5 새로운 변형 대수는 G(d, p, n) 유형의 표준 순환 헤크 대수와 동형인가?
• RQ6 이러한 새로운 대수의 기약 모듈에 대한 파arameter화는 유체적 및 모듈러 경우 모두에서 어떻게 이루어지는가?

주요 결과

• 브레이드와 땅이 달린 대수 BTₙ는 Yd,n의 Sd-고정점 부분대수와 동형이며, d ≥ n일 때 이 동형관계에 대한 새로운 개념적 증명을 제공한다.
• Yd,n에서 Z/pZ 작용에 대한 고정점 부분대수는 복소 반사군 G(d, p, n)의 군 대수에 대한 새로운 변형이며, 기존의 부분군 포함 관계를 일반화한다.
• 클리포드 이론을 이용해 고정점 부분대수의 표현 이론을 완전히 파arameter화하였으며, 기약 모듈은 순환 이동에 대한 d/p-분할의 궤도에 따라 인덱싱된다.
• Y^Z/pZ_d,n에 대해 기약 모듈 V^λ_Si의 차원은 y(λ, e) × s(λ)/p로 주어지며, 여기서 s(λ)는 d/p-분할에 대한 순환 이동의 주기이다.
• 표준 순환 헤크 대수 G(d, p, n)와의 비교를 통해 특수화 결과를 분석함으로써, 새로운 변형 대수는 표준 순환 헤크 대수와 동형이 아니라는 것을 입증한다.
• d = p = 2일 때 Dₙ 웨일 군 대수의 변형에 대해 간단한 명시적 표현을 제시하였으며, 이는 G(2, 2, n) 유형의 브레이드 군의 몫으로서 얻어진다.