[논문 리뷰] Cloaking by anomalous localized resonance for linear elasticity on a coated structure

Kazunori Ando, Hyeonbae Kang외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 26.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 코어가 양의 라메 계수를 가지며 쉘에 음의 라메 계수를 가진 코팅된 원형 구조를 이용하여 선형 탄성에서 비정상 국소 공진(CALR)에 의한 은폐 현상의 발생 여부를 조사한다. 두 개의 동심 원에 대해 노이만-포앙카레(Neumann-Poincaré) 연산자의 고유값을 분석함으로써, CALR는 다이폴 소스가 기하학적 및 물성 매개변수에 따라 결정되는 임계 반경 내에 있을 경우에만 발생하며, $ z(c) = k_0 $ 및 $ z(c) = -k_0 $에 대해 각각 다른 임계 반경을 가지며, 고유값 수렴의 점근적 분석을 통해 유도된다.

ABSTRACT

We investigate anomalous localized resonance on the circular coated structure and cloaking related to it in the context of elasto-static systems. The structure consists of the circular core with constant Lamé parameters and the circular shell of negative Lamé parameters proportional to those of the core. We show that the eigenvalues of the Neumann-Poincaré operator corresponding to the structure converges to certain non-zero numbers determined by Lamé parameters and derive precise asymptotics of the convergence. We then show with estimates that cloaking by anomalous localized resonance takes place if and only if the dipole type source lies inside critical radii determined by the radii of the core and the shell.

연구 동기 및 목표

• 코팅된 원형 구조에서 쉘에 음의 라메 계수를 가지는 선형 탄성에서 비정상 국소 공진(CALR)이 발생할 수 있는지 조사하기 위해.
• 두 개의 동심 경계에서 정의된 노이만-포앙카레(NP) 연산자의 고유값에 초점을 맞춘 스펙트럼 조건을 규명하기 위해.
• 코팅된 구조에 의해 발생하는 왜곡에 의해 NP 고유값이 $ \pm k_0 $로 수렴하는 정확한 점근적 표현을 유도하기 위해.
• 코어 및 쉘 반경에 대한 다이폴 소스의 위치에 기반한 CALR에 대한 임계 반경의 존재를 규명하기 위해.
• 재료 매개변수 $ c $ 가 $ z(c) = \pm k_0 $ 를 만족할 때에만 CALR가 발생하며, 각 경우에 대해 별개의 임계 반경이 존재함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 코어가 양의 라메 계수 $ (\lambda, \mu) $ 를 가지며, 외부에 음의 라메 계수를 가진 코팅층 $ (c+i\delta)(\lambda, \mu) $ 를 가지는 원형 코팅된 구조를 모델링하며, 여기서 $ c < 0 $ 이고 $ \delta > 0 $ 이다.
• 쉘의 경계에서 정의된 노이만-포앙카레(NP) 연산자를 $ H^{-1/2} $ 내적 공간을 사용하여 단일층 잠재이론을 통해 블록 행렬 형태로 표현한다.
• 파erturbation 이론을 적용하여 $ \delta \to 0 $ 일 때 NP 고유값의 점근적 행동을 분석하고, $ \pm k_0 $ 로 수렴함을 보이며, 여기서 $ k_0 = \mu / (2(\lambda + 2\mu)) $ 이다.
• 편미분 잠재함수 표현과 변위장의 푸리에 모드 분해를 사용하여 고유값에 대한 점근 전개를 도출한다.
• 단일층 잠재함수의 $ r_e $, $ r_i $, 및 $ |\mathbf{z}| $ 에 대한 급수 전개를 이용하여, 거리가 먼 곳에서의 탄성장 $ \mathbf{u}^\delta $ 의 행동을 추정한다.
• 변위 벡터의 복소 표현 및 기본해 $ \Gamma(\mathbf{x}-\mathbf{z}) $ 를 사용하여 경계 $ \Gamma_e $ 에서의 법선 도함수를 계산함으로써 계수 $ g_{n,j} $ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코팅된 원형 구조에서 쉘에 음의 라메 계수를 가지는 선형 탄성에서 비정상 국소 공진(CALR)이 발생하는가?
• RQ2 소산 매개변수 $ \delta \to 0 $ 일 때, 이중층 원형 구조에서 노이만-포앙카레(NP) 연산자의 고유값의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 재료 매개변수 $ c $ 에 대한 조건은 무엇이며, CALR 발생에 대한 임계 반경은 $ c $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 왜 $ z(c) = k_0 $ 와 $ z(c) = -k_0 $ 에 대해 임계 반경이 서로 다른가? 이는 $ \pm k_0 $ 근처에서의 고유값 스펙트럼 행동의 비대칭성을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 NP 고유값이 $ \pm k_0 $ 로 수렴하는 점근 수렴을 정량화할 수 있으며, 이는 탄성 에너지 $ E^\delta $ 의 발산으로 이어지는가?

주요 결과

• 코팅된 구조에서 노이만-포앙카레 연산자의 고유값은 $ \delta \to 0 $ 일 때 $ \pm k_0 $ 로 수렴하며, 이는 페르투브레이션 이론을 통해 정확한 점근적 표현이 도출된다.
• CALR는 다이폴 소스가 임계 반경 내에 있을 경우에만 발생한다: $ z(c) = k_0 $ 에서는 $ r_* = r_e^2 / r_i $, $ z(c) = -k_0 $ 에서는 $ r_{**} = \sqrt{r_e^3 / r_i} $ 이며, 이는 서로 다른 스펙트럼 집적 속도에 기인한 별개의 반경이다.
• 소스가 임계 반경 내에 있을 경우 탄성 에너지 $ E^\delta = \delta E(\mathbf{u}^\delta) $ 는 $ \delta \to 0 $ 일 때 발산하며, CALR 가 발생함을 확인한다.
• 만일 $ |\mathbf{x}| > r_e^3 / r_i^2 $ 이면, $ z(c) = k_0 $ 일 때 $ \delta \to 0 $ 일 때도 변위장 $ \mathbf{u}^\delta(\mathbf{x}) $ 는 균일하게 유계이다. 이는 구조 근처에서의 필드 집중을 나타낸다.
• 만일 $ |\mathbf{x}| > r_e^2 / r_i $ 이면, $ z(c) = -k_0 $ 일 때 $ \delta \to 0 $ 일 때도 변위장은 유계이므로, 임계 반경 $ r_{**} $ 와 일치하며, 이는 은폐 영역 내에서만 필드 집중이 발생함을 보여준다.
• 임계 반경은 단일층 잠재함수의 추정을 통해 도출되었으며, 이는 필드 수렴 속도가 $ \pm k_0 $ 에서의 스펙트럼 집적에 따라 달라지며, 고유값 전개의 다른 감쇠 속도로 인해 비대칭적임을 보여준다.