[논문 리뷰] Closed Model Categories for Presheaves of Simplicial Groupoids and Presheaves of 2-Groupoids

Zhiming Luo, Peter Bubenik외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 01. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소규모 사이트 위의 단순형 군oids 및 2-군oids의 예비층의 범주에 Quillen 닫힘 모델 구조를 수립하며, 그들의 호모토피 범주는 각각 단순형 예비층과 호모토피 2형식과 동치임을 보여준다. 이 구성은 단순형 집합과 고차 군oids 사이의 수반 함자에 기반하며, 약한 동치와 필라션은 $\overline{W}$ 함자에 의해 올려져 Quillen 동치를 이룩하며, 이는 2형식의 호모토피 이론을 실현한다.

ABSTRACT

It is shown that the category of presheaves of simplicial groupoids and the category of presheaves of 2-groupoids have Quillen closed model structures. Furthermore, their homotopy categories are equivalent to the homotopy categories of simplicial presheaves and homotopy 2-types, respectively.

연구 동기 및 목표

• 소규모 사이트 위의 단순형 군oids 및 2-군oids의 예비층에 Quillen의 닫힘 모델 범주 프레임워크를 확장하기.
• 이 범주들이 기존의 단순형 예비층 모델과 호환되는 잘 정의된 호모토피 이론을 갖는다는 것을 보여주기.
• 이 예비층 범주의 호모토피 범주와 단순형 예비층 및 호모토피 2형식의 호모토피 범주 사이의 Quillen 동치 수립하기.
• 고차 군oids의 구조를 통해 $G$-torsors 및 gerbes를 분류하기 위한 호모토피 기반 제공하기.

제안 방법

• 단순형 집합과 고차 군oids 사이의 수반 $G: Δ^{op} \to s\mathbf{Gd}$ 및 그 우측 수반 $\overline{W}$ 를 활용하여, 단순형 예비층에서 단순형 군oids의 예비층로 모델 구조를 이전한다.
• 단순형 예비층 ${\bf S}Pre(\mathcal{C})$ 에서의 전역 필라션과 위상적 약한 동치를 $\overline{W}$ 함자를 통해 $s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$ 내의 필라션과 약한 동치로 올린다.
• Jardine의 기법을 적용하여 $s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$ 와 ${\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C})$ 의 모델 구조에 대해 Quillen 공리계, 특히 올림성과 분해 성질을 검증한다.
• 소형 객체 방법을 사용하여 함자적 분해를 구성함으로써, 코필라션과 트ivial 코필라션의 잘 정의됨을 보장한다.
• $\overline{W}$ 함자가 필라션과 약한 동치를 보존함을 보여주며, Quillen 수반의 구성에 기여한다.
• 유도된 수반은 호모토피 범주 수준에서 동치를 유도하며, $G$ 와 $\overline{W}$ 는 2-군oids에 대해 Quillen 동치를 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 사이트 위의 단순형 군oids의 예비층 범주는 Quillen 닫힘 모델 구조를 갖는가?
• RQ2 단순형 군oids의 예비층의 호모토피 범주는 단순형 예비층의 호모토피 범주와 동치임을 증명할 수 있는가?
• RQ3 2-군oids의 예비층 범주는 2형식의 호모토피 이론과 호환되는 닫힘 모델 구조를 갖는가?
• RQ4 단순형 예비층과 2-군oids의 예비층 사이의 수반은 호모토피 범주에서 동치를 유도하는 Quillen 동치인가?
• RQ5 $\overline{W}$ 함자가 예비층의 맥락에서 필라션과 약한 동치를 보존하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 단순형 군oids의 예비층 범주 $s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$ 는 $\overline{W}$ 함자를 통해 정의된 필라션과 약한 동치를 갖는 Quillen 닫힘 모델 구조를 갖는다.
• 호모토피 범주 $Ho(s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C}))$ 는 단순형 예비층의 호모토피 범주 $Ho({\bf S}Pre(\mathcal{C}))$ 와 동치이다.
• 2-군oids의 예비층 범주 ${\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C})$ 는 $\overline{W}$ 를 통해 ${\bf S}Pre(\mathcal{C})$ 에서의 필라션과 약한 동치를 올려진 Quillen 닫힘 모델 구조를 갖는다.
• 수반 $G: {\bf S}Pre(\mathcal{C}) \rightleftarrows {\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C}) : \overline{W}$ 는 호모토피 범주에서 동치를 유도하는 Quillen 수반이다.
• 호모토피 범주 $Ho({\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C}))$ 는 $Ho({\bf S}Pre(\mathcal{C}))$ 의 호모토피 군이 2차수 이상에서 자명한 단순형 예비층으로 이루어진 전부하위범주와 동치이다.
• 모든 2-군oids의 예비층 $K$ 에 대해 자연스러운 사상 $\varphi: G\overline{W}(K) \to K$ 는 약한 동치이며, $\pi_i(\overline{W}K|_U, \ast) = 0$ for $i > 2$ 이다. 이는 2형식 성질을 확인한다.