[논문 리뷰] Closedness of convex sets in Orlicz spaces with applications to dual representation of risk measures

Niushan Gao, Denny H. Leung외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 22인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내의 노름 유계 볼록 집합에 대해 순서 닫힘(거의 확실히 수렴에 대해 닫힘)과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘은 오직 하나의 쌍대 오르리치 함수 $\Phi$ 또는 $\Psi$가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 동치임을 입증한다. 주요 기여는 $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 쌍대 쌍 $(L^\Phi, L^\Psi)$에 의한 이중 표현을 갖지 못하는 피rett성 조건을 만족하는 일관된 위험 측도가 존재함을 보여주며, 금융 수학 분야에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $(\\Phi,\\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\\Phi$, order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$; that is, a convex set is $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ are equivalent if and only if either $\\Phi$ or $\\Psi$ satisfies the $\\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \\emph{If (and only if) $\\Phi$ and $\\Psi$ both fail the $\\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\\Phi, L^\\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\\Phi,H^\\Psi)$.

연구 동기 및 목표

• 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내의 볼록 집합에 대해 순서 닫힘과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘의 동치성 여부를 해결하는 것.
• 크라인-스무리언 정리가 위상 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$에 대해 성립하는 조건을 규명하며, 이를 오르리치 함수의 $\Delta_2$-조건과 연결하는 것.
• 오르리치 공간 및 오르리치 하트 공간에서 일관된 위험 측도의 이중 표현에 대한 영향을 조사하는 것.
• 두 함수 $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 피렛트 성 조건을 만족하지만 펜체르-모레우 이중 표현을 갖지 못하는 일관된 위험 측도의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• 특히 오르리치 공간 $L^\Phi$와 그 연관 공간 $L^\Psi$ 사이의 쌍대성 이론을 활용한 바나흐 함수 공간 내의 쌍대성 이론을 사용한다.
• $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-위상에서 크라인-스무리언 정리를 적용하여 볼록 집합의 닫힘성을 특성화한다.
• 특히 노름 유계 수열이 거의 확실히 수렴하는 경우를 중심으로, $L^\Phi$와 $H^\Phi$ 내의 순서 닫힘을 분석하기 위해 수열 분석 및 지배 수렴 기법을 활용한다.
• 오르리치 하트 공간 $H^\Phi$ 내의 랜덤 변수 수열을 이용해 구체적인 반례를 구성함으로써, $\Phi$와 $\Psi$가 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우 $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-닫힘성이 순서 닫힘을 함의하지 않음을 보여준다.
• 좌표별 수렴과 노름 수렴을 이용해 $c_0$와 $\ell^1$ 내에서 표현 집합의 구조를 분석함으로써 볼록 집합에 속하는지 여부를 확인한다.
• 펜체르-모레우 이중성 정리를 활용하여 하부 연속성과 위험 측도의 이중 표현 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오르리치 함수 $\Phi$와 $\Psi$에 대해 어떤 조건에서 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내의 볼록 집합에 대해 순서 닫힘과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘의 동치성이 성립하는가?
• RQ2 크라인-스무리언 정리가 위상 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$에 대해 성립하는가? 이는 오직 $\Phi$ 또는 $\Psi$ 중 하나가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 성립한다.
• RQ3 오르리치 공간 $L^\Phi$ 위의 일관된 위험 측도가 피렛트 성 조건을 만족하지만, 쌍대 쌍 $(L^\Phi, L^\Psi)$에 의한 이중 표현을 갖지 못할 수 있는가?
• RQ4 $\Delta_2$-조건과 오르리치 공간 내 위험 측도의 이중 표현 존재성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 두 함수 $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 피렛트 성 조건을 만족하지만 이중 표현이 없는 일관된 위험 측도의 존재가 보장되는가?

주요 결과

• 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내의 볼록 집합에 대해 순서 닫힘과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘은 오직 하나의 $\Phi$ 또는 $\Psi$가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 동치이다.
• 노름 유계 볼록 집합에 대해 순서 닫힘과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘의 동치성은 오직 크라인-스무리언 정리가 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$에 대해 성립할 때에만 성립한다.
• 두 함수 $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 피렛트 성 조건을 만족하지만 펜체르-모레우 이중 표현을 갖지 못하는 오르리치 공간 $L^\Phi$ 위의 일관된 위험 측도가 존재한다.
• 오르리치 하트 공간 설정에서도 유사한 이중 표현 실패가 발생한다: $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, $H^\Phi$ 위에 피렛트 성 조건을 만족하지만 $(H^\Phi, H^\Psi)$에 의한 이중 표현이 없는 일관된 위험 측도가 존재한다.
• 증명 과정에서 $H^\Phi$ 내의 수열 $X_{sr}$이 $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-위상에서 $-W_0$로 수렴하는 것을 보여주며, 이는 원래 볼록 집합 $\mathcal{C}$에 속하지 않음을 확인함으로써 $\mathcal{C}$가 $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-닫혀 있지 않음을 입증한다.
• 이 구성은 $c_0$와 $\ell^1$ 내의 좌표별 수렴, $H^\Phi$ 내의 노름 유계성, 그리고 이중 공간 내 수열의 거동를 제어하기 위한 프로젝션 $\mathcal{P}_j$의 사용에 기반한다.