[논문 리뷰] Closing the loop: nonlinear Taylor vortex flow through the lens of resolvent analysis

Benedikt Barthel, Xiaojue Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 18.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 50인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 타일러 유동의 완전 비선형, 자가유지 모델을 구축하기 위해 최적화 기반의 해석 방법을 제안한다. 이 방법은 임계 레이놀즈 수의 5배까지의 비선형성을 고려하며, 비선형성을 삼중 상호작용 일관성 조건으로 간주하고 저랭크 선형 동역학을 활용함으로써 정확한 유동 해를 효율적으로 계산한다. 이는 직접 수치 시뮬레이션(DNS)에서 관찰되는 주요 특징을 잘 반영하며, 고레이놀즈 수에서 삼중 상호작용의 간섭으로 인해 에너지가 소규모에서 대규모로 전이되는 역방향 강제력 캐스케이드로의 전이를 드러낸다.

ABSTRACT

We present an optimization-based method to efficiently calculate accurate nonlinear models of Taylor vortex flow. We use the resolvent formulation of McKeon & Sharma (2010) to model these Taylor vortex solutions by treating the nonlinearity not as an inherent part of the governing equations but rather as a triadic constraint which must be satisfied by the model solution. We exploit the low rank linear dynamics of the system to calculate an efficient basis for our solution, the coefficients of which are then calculated through an optimization problem where the cost function to be minimized is the triadic consistency of the solution with itself as well as with the input mean flow. Our approach constitutes, what is to the best of our knowledge, the first fully nonlinear and self-sustaining, resolvent-based model described in the literature. We compare our results to direct numerical simulation of Taylor Couette flow at up to five times the critical Reynolds number, and show that our model accurately captures the structure of the flow. Additionally, we find that as the Reynolds number increases the flow undergoes a fundamental transition from a classical weakly nonlinear regime, where the forcing cascade is strictly down scale, to a fully nonlinear regime characterized by the emergence of an inverse (up scale) forcing cascade. Triadic contributions from the inverse and traditional cascade destructively interfere implying that the accurate modeling of a certain Fourier mode requires knowledge of its immediate harmonic and sub-harmonic. We show analytically that this finding is a direct consequence of the structure of the quadratic nonlinearity of the governing equations formulated in Fourier space. Finally, we show that using our model solution as an initial condition to a higher Reynolds number DNS significantly reduces the time to convergence.

연구 동기 및 목표

• 고레이놀즈 수에서 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 결과를 정확히 재현하는 완전 비선형, 자가유지 감소 모델을 개발하는 것.
• 타일러-커티 유동에서 대규모 공진 구조를 유지하는 비선형 삼중 상호작용의 역할을 조사하는 것.
• 약한 비선형에서 완전 비선형 동역학으로의 전이, 특히 역방향(대규모) 강제력 캐스케이드의 발생을 규명하는 것.
• 모델 해가 고레이놀즈 수 DNS의 수렴 속도를 크게 향상시킬 수 있도록 개선된 초기 조건으로 기능할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 나비에-스토크스 방정식을 푸리에 공간에서 기술하고, 평균 유동을 기준으로 변동을 선형화하여 해결론 프레임워크를 적용함으로써 문제를 다항식 방정식의 집합으로 변환한다.
• 비선형성은 소스 항으로 강제하는 것이 아니라, 해의 이차 상호작용이 해의 구조 자체와 일치해야 한다는 삼중 상호작용 일관성 조건으로 강제한다.
• 해 공간의 효율적 기저를 구성하기 위해 해결론 연산자의 저랭크 근사를 사용하여 계산 비용을 감소시킨다.
• 삼중 상호작용 일관성과 입력 평균 유동과의 호환성을 모두 강제하는 최적화 비용 함수를 최소화함으로써 해 기저의 계수를 결정한다.
• 모델의 비선형 강제력이 스스로 일관되고 평균 유동과 역학적으로 일관되도록 하여 해결론 루프를 명시적으로 닫는다.
• 최종적으로, 이 모델은 임계 값의 5배인 2000까지의 레이놀즈 수에서 DNS 결과와 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 해결론 분석을 이용하여 타일러 유동의 완전 비선형, 자가유지 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 삼중 비선형 상호작용은 타일러-커티 유동에서 대규모 공진 구조를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 레이놀즈 수가 증가함에 따라 강제력 캐스케이드의 성격(소규모에서 대규모로의 전이)은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 삼중 상호작용 간의 간섭 효과가 개별 푸리에 모드의 구조를 얼마나 깊이 형성하는가?
• RQ5 해결론 기반 모델은 고레이놀즈 수 DNS의 수렴 시간을 크게 단축시킬 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 레이놀즈 수 2000까지의 직접 수치 시뮬레이션(DNS)의 유동 구조를 매우 낮은 계산 비용으로 정확히 재현한다.
• 고레이놀즈 수에서, 유동은 주로 소규모 강제력 캐스케이드가 지배하는 약한 비선형 영역에서, 상당한 역방향(대규모) 강제력 캐스케이드를 포함하는 완전 비선형 영역으로 전이된다.
• 특정 파수 k에서 지배적인 비선형 상호작용은 형식 k = (k±1)∓1의 삼중조합을 포함하며, 레이놀즈 수가 가장 높을 때는 고차 삼중조합 (k±2)∓2도 중요해진다.
• 기본 조화의 상반된 삼중조합에서 기여하는 속도는 거의 크기는 같지만 부호가 반대이므로 상호 간섭으로 인해 상쇄된다. 이는 전체 푸리에 모드의 구조를 형성한다.
• 이 상호 간섭은 푸리에 공간에서 나비에-스토크스 방정식의 이차 비선형성에 의해 직접적으로 유도됨을 해석적으로 보여준다.
• 고레이놀즈 수 DNS에서 이 모델 해를 초기 조건으로 사용함으로써 수렴 시간을 65% 감소시켰으며, 이는 모델의 실용적 유용성을 입증한다.