[논문 리뷰] Closures in Formal Languages and Kuratowski's Theorem

Janusz Brzozowski, Elyot Grant외 1명|ArXiv.org|2009. 01. 23.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 형식 언어의 클리니 및 양성 폐쇄 연산에 대한 폐쇄 성질을 조사하며, 위상수학적 폐쇄와 보완에 대한 쿠라토프스키의 고전적 정리(14세트 정리)를 형식 언어 이론으로 확장한다. 보완 및 폐쇄 연산을 반복 적용하여 생성되는 대수의 기반으로 언어를 분류하여, 클리니 폐쇄 하에서는 정확히 12개의 서로 다른 대수가 존재하고, 양성 폐쇄 하에서는 9개의 서로 다른 대수가 존재함을 증명한다. 생성된 언어의 수에 대해 날카운 경계를 제시하며, 최대 14개까지 가능하다.

ABSTRACT

A famous theorem of Kuratowski states that in a topological space, at most 14 distinct sets can be produced by repeatedly applying the operations of closure and complement to a given set. We re-examine this theorem in the setting of formal languages, where closure is either Kleene closure or positive closure. We classify languages according to the structure of the algebra they generate under iterations of complement and closure. We show that there are precisely 9 such algebras in the case of positive closure, and 12 in the case of Kleene closure.

연구 동기 및 목표

• 위상공간에서의 쿠라토프스키의 고전적 14세트 정리를 형식 언어로 확장하기 위해, 위상수학적 폐쇄를 클리니 폐쇄 또는 양성 폐쇄로 대체한다.
• 형식 언어 환경에서 보완 및 폐쇄 연산을 반복 적용하여 생성되는 모든 가능한 대수를 분류한다.
• 각 폐쇄 유형에 대해 생성되는 서로 다른 대수의 정확한 수와 생성된 언어의 최대 수를 규명한다.
• 각 대수 유형에 대해 명시적인 언어 예시를 제공하여 경계의 날카움을 입증한다.

제안 방법

• 모든 유한 단어 Σ∗의 집합 위에서 클리니 폐쇄(L∗= ⋃i≥0 Li)와 양성 폐쇄(L+= ⋃i≥1 Li)를 폐쇄 연산자로 정의한다.
• 폐쇄 연산자와 내부 연산자 사이의 이중성 활용: L⊛ = L−∗− (클리니 내부), L⊕ = L−+− (양성 내부).
• 폐쇄 및 내부 연산자를 사용하여 언어가 열린지, 닫힌지, 열린 닫힌지 또는 그 어느 것도 아닌지에 따라 언어를 분류한다.
• 언어 L이 폐쇄, 보완 및 그 반복에 의해 생성하는 대수 E(L)의 구조를 분석한다.
• 복잡성을 줄이고 분류를 가능하게 하기 위해, E(L)에 속한 언어를 그 기저 집합 B(L)로 매핑하는 호모모르피즘 φ를 사용한다.
• 공집합 문자 ǫ의 존재 여부와 L 및 그 유도된 집합의 열린/닫힌 성질에 기반한 케이스 분석을 통해 가능한 모든 대수를 열거한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 형식 언어에 대해 보완 및 클리니 폐쇄를 반복 적용할 때 생성될 수 있는 서로 다른 언어의 수는 얼마인가?
• RQ2 언어의 어떤 구조적 성질이 폐쇄 및 보완 연산 하에서 생성되는 대수의 크기와 구성에 영향을 미치는가?
• RQ3 공백 문자 ǫ의 존재 또는 부재가 생성된 언어 집합의 대수적 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 양성 폐쇄와 클리니 폐쇄 간에 서로 다른 대수적 유형이 존재하는가? 만약 존재한다면, 그 수는 얼마인가?
• RQ5 생성된 언어 수에 대해 날카운 상한을 설정할 수 있으며, 이러한 상한은 달성 가능한가?

주요 결과

• 클리니 폐쇄와 보완을 반복 적용할 때 어떤 언어로부터도 정확히 12개의 서로 다른 대수가 생성되며, 최대 14개의 서로 다른 언어가 생성된다.
• 양성 폐쇄의 경우 정확히 9개의 서로 다른 대수가 존재하며, 최대 14개의 언어가 생성되지만, 클리니 경우와는 다를 구조를 가진다.
• 클리니 폐쇄 하에서 14개의 언어라는 경계는 날카롭게 유지되며, 예를 들어 케이스 (9)에서 언어 a ∪ ab ∪ bb는 정확히 14개의 서로 다른 언어를 생성함으로써 이를 입증한다.
• 대수의 구조는 언어가 열린지, 닫힌지, 열린 닫힌지 또는 그 어느 것도 아닌지에 따라 결정되며, 공백 문자 ǫ의 존재 여부에 따라도 영향을 받는다.
• 언어 L이 열린 닫힌 집합이면서 ǫ를 포함할 경우 생성되는 대수의 크기는 2이다. L이 열린 닫힌 집합이지만 ǫ를 포함하지 않을 경우 크기는 여전히 2이지만, 첫 번째 경우와 대칭적인 구조를 가진다.
• L이 열리지도 않고 닫히지도 않을 경우, 대수의 크기는 L+와 L⊕의 폐쇄 및 열린 성질에 따라 4에서 14까지 변동하며, 최대 크기인 14는 L+와 L⊕가 모두 닫히지도 않고 열려지도 않을 때 그리고 그 폐쇄가 서로 다를 경우에 달성된다.