[논문 리뷰] CLT for large dimensional general Fisher matrices and its applications in high-dimensional data analysis

Shurong Zheng, Zhidong Bai외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 모비산행렬을 가진 고차원 일반 피셔 행렬에 대한 선형 스펙트럼 통계량에 대한 중심극한정리(CLT)를 수립한다. 이는 고차원 추론을 가능하게 하며, 이전 연구에서 i.i.d. 성분이나 동일한 공분산 행렬을 가정했던 제약을 극복한다. 고유값 기능의 명시적 점근 평균 및 분산 공식을 도출한다.

ABSTRACT

Random Fisher matrices arise naturally in multivariate statistical analysis and understanding the properties of its eigenvalues is of primary importance for many hypothesis testing problems like testing the equality between two multivariate population covariance matrices, or testing the independence between sub-groups of a multivariate random vector. This paper is concerned with the properties of a large-dimensional Fisher matrix when the dimension of the population is proportionally large compared to the sample size. Most of existing works on Fisher matrices deal with a particular Fisher matrix where populations have i.i.d components so that the population covariance matrices are all identity. In this paper, we consider general Fisher matrices with arbitrary population covariance matrices. The first main result of the paper establishes the limiting distribution of the eigenvalues of a Fisher matrix while in a second main result, we provide a central limit theorem for a wide class of functionals of its eigenvalues. Some applications of these results are also proposed for testing hypotheses on high-dimensional covariance matrices.

연구 동기 및 목표

• 차원 p가 표본 크기 n1과 n2와 비례적으로 증가할 때 일반 피셔 행렬의 고유값에 대한 점근 이론 부족 문제를 해결한다.
• 기존 CLT의 제약을 극복한다. 즉, i.i.d. 성분이나 동일한 모공분산 행렬을 가정할 필요가 없다.
• 피셔 행렬의 선형 스펙트럼 통계량에 대해 명시적이고 비랜덤 중심화 및 분산 항을 포함한 중심극한정리를 제공한다.
• 공분산 행렬의 동일성 검정 및 독립성 검정과 같은 고차원 다변량 검정에서 타당한 추론을 가능하게 한다.
• 비정규, 비i.i.d. 모집단에 대해 임의의 네 번째 모멘트를 가진 경우에도 랜덤 행렬 이론 결과를 확장한다.

제안 방법

• p, n1, n2의 비례 증가 조건 하에서 피셔 행렬 F = B1B2⁻¹의 점근 스펙트럼 분포를 유도한다.
• 복소해석학과 스틸체스 변환을 사용하여 F의 점근 스펙트럼 측도를 특성화한다.
• 스틸체스 변환으로부터 도출된 결정론적 중심화 항을 사용하여 선형 스펙트럼 통계량 W_n = ∑f(λ_i^F)에 대한 CLT를 수립한다.
• 점근 스펙트럼 분포와 스틸체스 변환을 포함하는 적분을 사용하여 W_n의 점근 평균 및 분산을 명시적으로 계산한다.
• 가우시안 가정에 의존하지 않고, 모집단 성분의 임의의 네 번째 모멘트를 처리한다.
• 모공분산 행렬 Σ1과 Σ2에 대한 일반 조건 하에서 CLT를 증명하며, Σ1 = Σ2라는 조건이 필요하지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모공분산 행렬이 임의일 때, 고차원 피셔 행렬의 고유값의 점근 분포는 무엇인가?
• RQ2 명시적 비랜덤 중심화 및 분산 항을 포함한 이러한 피셔 행렬의 선형 스펙트럼 통계량에 대해 중심극한정리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 고유값 기능의 점근 평균 및 분산은 모공분산 행렬과 표본 차원에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 i.i.d. 성분이나 동일한 공분산 행렬을 가정하지 않고도 CLT를 유도할 수 있는가?
• RQ5 이 CLT는 다변량 분석에서 고차원 가설 검정에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 논문은 비i.i.d. 성분이 포함된 일반적인 조건 하에서도 유효한, 임의의 모공분산 행렬을 가진 고차원 피셔 행렬의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 중심극한정리를 수립한다.
• 선형 스펙트럼 통계량의 점근 평균 및 분산은 스틸체스 변환과 점근 스펙트럼 분포를 통해 명시적으로 유도된다.
• CLT의 중심화 항은 결정론적이고 비랜덤이며, 이는 이전 결과에서 중심화 항이 랜덤이었던 것과는 대조된다.
• 점근 분산 공식은 모집단 스펙트럼 분포와 스틸체스 변환을 포함하는 적분으로 표현되며, 차원 비율에 명시적인 의존성을 가진다.
• 모집단 성분의 네 번째 모멘트가 임의여도 CLT가 성립하므로, 이전 연구에서의 핵심 제약이 제거된다.
• 결과는 일반 설정 하에서 공분산 행렬의 동일성 및 독립성 가설 검정을 위한 이론적 기초를 제공한다.