[논문 리뷰] CLT for linear spectral statistics of large dimensional sample covariance matrices with dependent data

Shurong Zheng, Zhidong Bai외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 12.

Random Matrices and Applications참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 종속된 데이터 하에서 고차원 표본 공분산 행렬의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 중심극한정리(CLT)를 수립한다. Bai와 Silverstein(2004)의 결과를 일반화하여 혼합 행렬 𝐐가 임의의 또는 무한한 차원을 가질 수 있도록 허용한다. 주요 기여는 고차원 점근적 설정에서 𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0 이면서도 고차원 공분산 구조에 대한 추론이 가능하도록 고유값 선형 통계량의 변동성을 특성화한 CLT를 제시한 것이다. 이는 종속된 또는 무한차원 입력 자료가 존재하는 상황에서도 유효하다.

ABSTRACT

This paper investigates the central limit theorem for linear spectral statistics of high dimensional sample covariance matrices of the form $\mathbf{B}_n=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{Q}\mathbf{x}_j\mathbf{x}_j^{*}\mathbf{Q}^{*}$ where $\mathbf{Q}$ is a nonrandom matrix of dimension $p imes k$, and $\{\mathbf{x}_j\}$ is a sequence of independent $k$-dimensional random vector with independent entries, under the assumption that $p/n o y>0$. A key novelty here is that the dimension $k\ge p$ can be arbitrary, possibly infinity. This new model of sample covariance matrices $\mathbf{B}_n$ covers most of the known models as its special cases. For example, standard sample covariance matrices are obtained with $k=p$ and $\mathbf{Q}=\mathbf{T}_n^{1/2}$ for some positive definite Hermitian matrix $\mathbf{T}_n$. Also with $k=\infty$ our model covers the case of repeated linear processes considered in recent high-dimensional time series literature. The CLT found in this paper substantially generalizes the seminal CLT in Bai and Silverstein (2004). Applications of this new CLT are proposed for testing the structure of a high-dimensional covariance matrix. The derived tests are then used to analyse a large fMRI data set regarding its temporary correlation structure.

연구 동기 및 목표

• 표본 공분산 행렬의 전통적 CLT를 종속된 데이터 및 임의의 또는 무한차원 입력 차원을 갖는 설정으로 일반화하기 위해.
• 크기가 큰 차원의 표본 공분산 행렬 𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*의 고유값 {𝜆ᵢ}에 대해 𝑝⁻¹∑𝑓(𝜆ᵢ) 형태의 선형 스펙트럼 통계량에 대한 중심극한정리를 수립하기 위해.
• 자기 또는 횡단적 종속성을 보이는 데이터에서 고차원 공분산 행렬에 대한 통계적 추론을 위한 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 반복 선형 과정 및 무한차원 잡음이 존재하는 고차원 시간 시리즈와 같은 모델에 기존 CLT 프레임워크의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 유도된 CLT를 활용하여 fMRI 데이터 분석과 같은 설정에서 고차원 공분산 행렬의 구조에 대한 가설 검정을 수행하기 위해.

제안 방법

• 𝑄는 𝑝×𝑘 비랜덤 행렬이며, {𝐱ⱼ}는 i.i.d. 표준화된 성분을 갖는 𝑘차원 독립 랜덤 벡터인 일반화된 표본 공분산 행렬 모델 𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*을 제안한다.
• 𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0 이며 𝑘 ≥ 𝑝, 특히 𝑘 = ∞인 경우를 포함하는 고차원 점근적 설정을 도입하여 무한차원 또는 종속된 데이터 구조를 모델링한다.
• 데이터 행렬 𝐗ₙ의 무거운 尾 또는 종속된 성분의 영향을 제어하기 위해 截단, 중심화, 스케일링 기법을 활용한다.
• 스티엘티 jes 변환 방법과 스펙트럼 노름 분석을 활용하여 선형 스펙트럼 통계량의 점근적 분포를 유도한다.
• 마팅게일 차분 접근법과 모멘트 경계를 적용하여 정규화된 선형 스펙트럼 통계량의 수렴성 분포를 증명한다.
• 스펙트럼 분포의 거의 확실 수렴을 수립하고, 선형 스펙트럼 통계량의 점근 평균 및 분산 함수를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기 또는 횡단적 종속성을 보이는 데이터와 임의의 또는 무한차원 입력 차원 𝑘을 갖는 고차원 표본 공분산 행렬의 선형 스펙트럼 통계량에 대해 중심극한정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 혼합 행렬 𝐐의 열 수가 행 수를 초과하는 경우(𝑘 ≥ 𝑝), 특히 𝑘 = ∞일 경우 선형 스펙트럼 통계량의 점근 분포는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 제시된 새로운 CLT는 고차원 종속된 데이터 상황에서 Bai와 Silverstein(2004)의 획기적인 결과를 어느 정도 일반화하는가?
• RQ4 유도된 CLT를 활용하여 시간적 시리즈 또는 fMRI 데이터에서 고차원 공분산 행렬의 구조에 대한 검정 통계량을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 일반화된 표본 공분산 행렬의 스펙트럼 통계량이 고차원 극한에서 정규 분포로 수렴하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0 이며 𝑘가 임의 또는 무한한 경우에도, 표본 공분산 행렬 𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*의 고유값 {𝜆ᵢ}에 대해 𝑝⁻¹∑𝑓(𝜆ᵢ) 형태의 선형 스펙트럼 통계량에 대해 중심극한정리를 수립하였다.
• 선형 스펙트럼 통계량의 점근 분포가 완전히 특성화되었으며, 중심화 항과 점근 분산에 대한 명시적 표현이 제시되었으며, Bai와 Silverstein(2004)의 결과를 종속된 및 무한차원 설정으로 일반화하였다.
• 입력 성분에 대한 모멘트 조건 하에서 CLT가 성립하며, 특히 𝐸|𝑥ᵢⱼ|⁴ < ∞ 이고, 점근적으로 무시할 수 없는 尾 효과를 보장하기 위한 截단 조건이 필요하다.
• 𝐁ₙ의 스펙트럼 분포가 비랜덤한 극한으로 수렴함을 입증하였으며, 이 극한 스펙트럼 분포는 𝐐의 특이값과 성분의 네 번째 모멘트에 의존한다.
• 논문은 𝐁ₙ의 경험적 스펙트럼 분포가 거의 확실히 결정론적 극한으로 수렴하고, 선형 스펙트럼 통계량이 평균과 분산이 명시적으로 정의된 정규 분포로 수렴함을 증명하였다.
• 유도된 CLT는 고차원 공분산 행렬의 구조 검정에 적용되었으며, 이 방법은 대규모 fMRI 데이터셋에서의 시간적 상관 구조 분석에 성공적으로 적용되었다.