[논문 리뷰] Cluster update for tensor network states

Ling Wang, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 19.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 유한한 클러스터에서 복소 시간에 따른 텐서의 진동을 통해 무한한 투영 얽힘 쌍대 상태(iPEPS) 시뮬레이션의 정확도를 향상시키는 클러스터 업데이트 방법을 제안한다. 이는 장거리 얽힘과 임계 현상을 더 잘 포착할 수 있게 하며, bond 차원 D=5일 때 스핀-1/2 이중화된 반자성 헤이젠베르크 모델에 대해 높은 정확도의 결과를 도출한다. 이로 인해 임계점 J′_c=2.501(1)과 임계 지수 β=0.37(1)을 도출하였으며, 간단한 업데이트 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

We propose a novel recursive way of updating the tensors in projected entangled pair states by evolving the tensor in imaginary time evolution on clusters of different sizes. This generalizes the so- called simple update method of Jiang et al. [Phys. Rev. Lett. 101, 090603 (2008)] and the updating schemes in the single layer picture of Pižorn et al. [Phys. Rev. A 83, 052321 (2011)]. A finite-size scaling of the observables as a function of the cluster size provides a remarkable improvement in the accuracy as compared to the simple update scheme. We benchmark our results on the hand of the spin 1/2 staggered dimerized antiferromagnetic model on the square lattice, and accurate results for the magnetization and the critical exponents are determined.

연구 동기 및 목표

• 2차원 양자 시스템에서 장거리 얽힘과 임계 상관관계를 포착하는 데에 실패하는 단순 업데이트 방법의 한계를 해결하기 위해.
• 간단한 업데이트의 계산적 이점은 유지하면서도 양자 임계점 근처의 정확도를 향상시키는 확장 가능하고 효율적인 텐서 네트워크 알고리즘을 개발하기 위해.
• 보편적인 bond 차원을 사용하여 강한 상관관계를 가지는 시스템에서 임계 지수와 상전이 점을 정확히 결정할 수 있도록 하기 위해.
• 간단한 업데이트의 효율성과 클러스터 기반 방법의 향상된 환경 표현을 융합하여 계산 오버헤드를 줄이기 위해.

제안 방법

• 단일 위치가 아닌 $l_x \times l_y$ 크기의 클러스터에서 텐서를 진동시킴으로써 단순 업데이트를 일반화하여, 더 큰 클러스터를 통해 장거리 상관관계를 포함시킨다.
• 이전 반복에서 얻은 엔트로피 스펙트럼 $\Lambda$를 사용하여 무한한 iPEPS를 클러스터 상의 개방 경계 PEPS로 변환한다.
• 중앙 클러스터의 위치에 복소 시간 진동을 적용하고, 전체 힐버트 공간의 성장 방지를 피하기 위해 수정된 MPS 기반 방법을 사용해 효율적으로 파동함수를 수축시킨다.
• 업데이트된 텐서는 프로젝터 $\mathbf{P}_A, \mathbf{P}_B$ 를 사용해 진동된 클러스터 상태를 bond 차원 $D$로 다시 투영함으로써 도출되며, iPEPS의 원래 텐서로 대체된다.
• 알고리즘은 클러스터 크기 $l_x$ 를 변분 매개변수로 사용하여 유한 체적 스케일링을 수행하며, 열역학적 한계로의 외삽을 가능하게 한다.
• 에너지 및 자화도와 같은 기대값은 텐서 업데이트 이후 큰 순환 시스템에서 몬테카를로 샘플링을 사용하여 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 상전이 근처에서 단순 업데이트에 비해 클러스터 기반 업데이트 방법이 iPEPS 시뮬레이션의 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 주어진 bond 차원 $D$ 에서 클러스터 크기 $l_x$ 를 증가시키면 에너지 및 자화도의 오차가 얼마나 감소하는가?
• RQ3 클러스터 크기 $l_x$ 를 사용한 유한 체적 스케일링이 임계 지수와 임계점에 대한 신뢰할 수 있는 외삽을 가능하게 하는가?
• RQ4 완전 수축 알고리즘과 다른 iPEPS 변종에 비해 클러스터 업데이트 방법은 정확도와 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 클러스터 업데이트 방법은 D=5일 때 단순 업데이트에 비해 에너지 및 자화도의 정확도를 크게 향상시켰으며, 에너지 오차가 수개의 주기로 감소하였다.
• 이중화된 반자성 헤이젠베르크 모델에 대해, 이 방법은 임계점 $J'_c = 2.501(1)$ 을 도출하였으며, 최신의 SSE 결과($J'_c = 2.5198(3)$)와 매우 유사한 결과를 보였다.
• 임계 지수 $\beta = 0.37(1)$ 은 높은 정밀도로 추출되었으며, 오차 범위 내에서 SSE 결과 $\beta = 0.376(5)$ 와 일치하였다.
• 클러스터 크기 $l_x$ 를 사용한 유한 체적 스케일링은 하위격자 자화도의 신뢰할 수 있는 외삽을 가능하게 하였으며, SSE 시뮬레이션과 뛰어난 일치를 보였다.
• 이 방법은 $2\times2$ 클러스터에 대해 $D^5$ 의 스케일링을 보이며, $4\times4$ 클러스터에 대해서는 $D^7$ 의 스케일링을 보이며, 중간 정도의 $D$ 에서도 효율성을 유지한다. 또한 전체 환경 수축의 복잡성을 피한다.
• 이 방법은 $D=5$ 일 때도 모델의 임계 행동을 성공적으로 포착하였으며, 중간 수준의 bond 차원을 클러스터 기반 업데이트와 결합하면 고정밀도 결과를 도출할 수 있음을 보여주었다.