[논문 리뷰] Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor

Chun‐Hung Liu, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 53인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 고정된 부분그래프 $K_{s,t}$ 와/또는 고정된 미니어러 $H$ 를 포함하지 않는 그래프에서 군집화된 색칠에 대해 향상된 경계를 확립하며, 이러한 그래프가 군집 크기가 유계인 $(s+2)$-색칠 가능하다는 것을 증명한다. 이는 히드거의 추측의 군집화된 색칠 형태에 대한 핵심 케이스를 해결하고, 홀수 미니어러 및 트리넓이 유계 그래프에 대해 날카로운 경계를 제공하며, 성분 크기 제약 조건이 있는 비정규 그래프 색칠 분야에서 최신 기술을 발전시킨다.

ABSTRACT

A graph coloring has bounded clustering if each monochromatic component has bounded size. Equivalently, it is a partition of the vertices into induced subgraphs with bounded size components. This paper studies clustered colorings of graphs, where the number of colors depends on an excluded minor and/or an excluded subgraph. We prove the following results (for fixed integers $s,t$ and a fixed graph $H$). First we show that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no $H$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering. The number of colors here is best possible. This result implies that graphs with no $K_{s+1}$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering, which is within two colors of the clustered coloring version of Hadwiger's conjecture. For graphs of bounded treewidth (or equivalently, excluding a planar minor) and with no $K_{s,t}$ subgraph, we prove $(s+1)$-choosability with bounded clustering, which is best possible. We then consider excluding an odd minor. We prove that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no odd $H$-minor are $(2s+1)$-colorable with bounded clustering, generalizing a result of the first author and Oum who proved the case $s=1$. Moreover, at least $s-1$ color classes are stable sets. Finally, we consider the clustered coloring version of a conjecture of Gerards and Seymour and prove that graphs with no odd $K_{s+1}$-minor are $(8s-4)$-colorable with bounded clustering, which improves on previous such bounds.

연구 동기 및 목표

• 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프와/또는 고정된 미니어러 $H$ 를 배제하는 그래프에서 군집화된 색칠에 필요한 최소 색 수를 결정하는 것.
• 기존의 $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프의 군집화된 색수에 대한 경계를 향상시켜 추측된 $s$-색 경계에 가까워지는 것.
• 홀수 미니어러와 트리넓이 유계 그래프로 결과를 확장하여 선택 가능성과 군집 크기에 대한 날카로운 경계를 제공하는 것.
• 홀수 $K_{s+1}$-미니어러에 대한 제라드스-세이어 쟁의의 군집화된 색칠 형태를 해결하는 것.
• 군집 크기가 유계일 때 $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프에 대해 $s+2$ 개의 색이 충분하며, 이는 추측된 최적 경계 $s$ 에서 두 색 이내라는 것.

제안 방법

• 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프와 고정된 $H$-미니어러를 포함하지 않는 그래프가 $s$, $t$, $H$ 에 대한 함수로 유계인 군집 크기를 가지는 $(s+2)$-색칠 가능하다는 것을 증명한다.
• 그래프의 미니어러와 부분그래프에 기반한 구조적 분해 기법과 귀납적 색칠 추론을 사용한다.
• 작은 분리자와 통제된 성분 성장률을 활용하여 군집 크기가 유계인 재귀적 색칠 프레임워크를 적용한다.
• 단색 성분의 크기를 귀납적으로 통제하기 위해 위치 기반 레이블링 시스템 $\mathcal{L}$ 을 사용한다.
• 칸과 옴의 작업에 기반한 감소 보조정리(보조정리 25)를 활용하여 희박한 부분그래프에서의 군집 경계를 모든 홀수-미니어러 자유 그래프로 확장한다.
• 기존의 $K_{s,t}$-자유 그래프와 미니어러 닫힘 클래스에 대한 결과를 활용하여 필요한 색 수에 대한 날카로운 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프와 고정된 미니어러 $H$ 를 배제하는 그래프의 군집화된 색칠에 필요한 최소 색 수는 무엇인가요?
• RQ2 $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프의 군집화된 색수를 $s+2$ 로 줄일 수 있을까요? 이는 추측된 $s$-색 경계에 가까워집니다.
• RQ3 홀수 미니어러가 존재할 경우 군집화된 색칠 수에 어떤 영향을 미치며, 홀수 $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프에 대해 날카로운 경계를 확립할 수 있을까요?
• RQ4 $K_{s,t}$-자유 그래프에서 트리넓이와 군집화된 선택 가능성 간의 관계는 무엇인가요?
• RQ5 Gerards-Seymour 추측의 군집화된 색칠 형태는 색 수에 대한 향상된 경계를 통해 증명될 수 있을까요?

주요 결과

• 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프와 고정된 $H$-미니어러를 포함하지 않는 그래프는 군집 크기가 유계인 $(s+2)$-색칠 가능하며, 이 색 수는 최적입니다.
• $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프의 경우 군집화된 색수는 최대 $s+2$ 이며, 이는 추측된 최적 경계인 $s$ 에서 두 색 이내입니다.
• 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프를 포함하지 않는 유계 트리넓이 그래프는 군집 크기가 유계인 $(s+1)$-선택 가능하며, 이는 최적입니다.
• 고정된 $K_{s,t}$ 부분그래프와 고정된 홀수 $H$-미니어러를 포함하지 않는 그래프는 군집 크기가 유계인 $(2s+1)$-색칠 가능하며, 최소 $s-1$ 개의 색 클래스는 안정 집합입니다.
• 홀수 $K_{s+1}$-미니어러 자유 그래프에 대해 제라드스-세이어 쟁의의 군집화된 색칠 형태는 최대 $8s-4$ 개의 색을 사용하는 상한을 통해 증명되었습니다.
• 이 결과들은 이전의 경계, 특히 노린, 드바르카-노린, 반 데인 하우엘-우드의 결과를 일반화하고 향상시키며, 명시적인 상수를 포함한 최초의 $O(s)$ 경계를 제공합니다.