[논문 리뷰] CM-stability of blow-ups and canonical metrics

Alberto Della Vedova|ArXiv.org|2008. 10. 30.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 평탄한 닫힌 부분 스킴에 대해 폭발한 후의 평탄한 가족에 대한 CM-line 번들의 渐近 공식을 수립하며, CM-안정성과 폭발 중심의 상대 Chow 안정성 간의 연결 고리를 제공한다. 주요 결과는 상대 Chow-불안정인 부분다양체에 대해 폭발을 수행할 경우, 예외적 초평면 클래스가 충분히 작을 때, 극단적 카플레르 메트릭의 존재를 차단한다는 것이다. 이는 대수기하학적 안정 조건을 통해 새로운 극단적 메트릭의 존재를 차단하는 조건을 제공한다.

ABSTRACT

An asymptotic formula for the Tian-Paul CM-line of a flat family blown-up at a flat closed sub-scheme is given. As an application we prove that the blow-up of a polarized manifold along a (relatively) Chow-unstable submanifold admits no (extremal) constant scalar curvature Kahler metrics in classes making the exceptional divisors sufficiently small. Moreover a geometric characterization of relatively Chow-unstable configuration of points in the projective space is given. From this we get new examples of classes admitting no extremal Kahler metric also in the case of the projective plane blown-up at a finite set of points.

연구 동기 및 목표

• 평탄한 닫힌 부분 스킴에 대해 폭발한 후의 평탄한 가족에 대한 CM-line 번들의 渐近 공식을 유도하는 것.
• 폭발된 가족의 CM-안정성과 폭발 중심의 상대 Chow 안정성 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 이 공식을 적용하여 특정 클래스에서 폭발 후 극단적 카플레르 메트릭의 존재를 차단하는 것.
• 프로젝션 공간 내 점들의 상대 Chow-불안정 구성의 기하학적 특성화를 제공하는 것.
• 특정 카플레르 클래스에서 극단적 카플레르 메트릭을 갖지 않는 새로운 다각형의 예를 제시하는 것.

제안 방법

• 폭발된 가족의 CM-line 번들의 渐近 전개를 원래 CM-line 번들과 폭발 중심과 관련된 새로운 불변량인 CW-line 번들로 표현하는 것.
• 가족에 대한 Paul–Tian의 CM-line 구성법을 등방위 테스트 구성으로 확장하여 폭발 설정에 적용하는 것.
• 일반화된 Futaki 불변량과 Futaki–Mabuchi 스칼라 곱을 사용하여 테스트 구성의 중심 섹션의 안정성을 분석하는 것.
• 폭발의 선다발 스트레칭과 관련된 매개변수 r에 대한 점근적 분석을 통해 폭발된 CM-line 번지가 주항과 보조항으로 분리됨을 보이는 것.
• 원래 다각형과 폭발된 다각형 간의 자동형군의 식별을 통해 극단적 벡터장과 그 중심 섹션에서의 작용을 비교하는 것.
• 폭발된 가족에서 수정된 Futaki 불변량이 점점 r의 거듭제곱에 따라 감소하는 오차항을 가진 채로, 점점 CW-불변량과 원래 Futaki 불변량에 의해 결정됨을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄한 닫힌 부분 스킴에 대해 폭발한 후의 가족에 대한 CM-line 번지는 어떻게 변하는가?
• RQ2 폭발 매개변수 r이 무한대에 접근함에 따라 폭발된 가족의 CM-line 번지의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 예외적 초평면이 작을 경우, 어떤 대수기하학적 조건에서 폭발된 다각형이 극단적 카플레르 메트릭을 갖지 못하는가?
• RQ4 폭발 중심의 상대 Chow 안정성은 폭발된 다각형에서 극단적 메트릭의 존재하지 않음을 예측하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 Futaki 불변량은 폭발 후 극단적 메트릭을 차단하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 폭발된 CM-line 번지의 점근 공식은 다음과 같다: λ_CM( X̃ /B, L_r ) = λ_CM(X/B, L) ⊗ λ_CW(Y,X/B,L)^{1/r^{n−d−1}} ⊗ O(1/r^{n−d}), 여기서 r은 폭발 매개변수이다.
• 중심 Y가 상대 Chow-불안정일 경우, 큰 r에 대해 폭발된 CM-line 번지가 불안정해지며, 이는 극단적 카플레르 메트릭의 존재를 차단함을 의미한다.
• 폭발된 테스트 구성에서 수정된 Futaki 불변량은 점점 F( X̃, L_r ) − ⟨χ̃₀, α₀⟩ = w_CW(N,A)/r^{n−d−1} + O(1/r^{n−d})로 수렴하며, w_CW(N,A) ≠ 0이면 이 값은 0이 아니다.
• 기하학적 특성화가 제시된다: 프로젝션 공간 내 점들의 구성이 상대 Chow-불안정일 때이고, 오직 그때만 특정 테스트 구성에서 관련된 CM-line 번지의 무게가 음수이다.
• 논문은 새로운 복소다양체의 예를 제시한다 (예: 유한 개의 점을 가진 CP²의 폭발), 이들은 특정 카플레르 클래스에서 극단적 카플레르 메트릭을 갖지 못한다.
• 폭발된 다각형에서 극단적 벡터장은 η_r = (1/r²)η + (1/r^{n−d+1})γ + O(1/r^{n−d+2})로 스케일링됨을 보여, 메트릭 구조의 점근적 행동을 확인한다.