[논문 리뷰] CM values of automorphic Green functions on orthogonal groups over totally real fields

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조건부 실수체 위의 직교군에서 자동형 그린 함수의 CM 값을 계산하기 위해 Gross-Zagier 및 Schofer의 프레임워크를 일반화하며, 조화 윌러킹 형식의 정규화된 스털링 릿지(θ-리프트)를 사용한다. 이는 임의의 전체 실수체 위에서 메로모르픽 모듈라 형식의 CM 값의 노름에 대한 명시적 유한 공식을 도출하여, 기저 체의 모든 임bedding에서 아르키메데스 성분의 높이 쌍대를 해결한다.

ABSTRACT

Generalizing work of Gross--Zagier and Schofer on singular moduli, we study the CM values of regularized theta lifts of harmonic Whittaker forms. We compute the archimedian part of the height pairing of arithmetic special divisors and CM cycles on Shimura varieties associated to certain quadratic spaces over an arbitrary totally real base field. As a special case, we obtain an explicit formula for the norms of the CM values of those meromorphic modular forms arising as regularized theta lifts of holomorphic Whittaker forms.

연구 동기 및 목표

• 전체 실수체 위에서 임의의 기저 체에 대해 특이 모듈러스의 Gross-Zagier 및 Schofer 결과를 일반화하여 자동형 그린 함수의 CM 값을 확장한다.
• 전체 실수체 위의 셰이마 다양체에서 산술 특수 나열과 CM 사이클 간의 높이 쌍대의 아르키메데스 성분을 계산한다.
• 정규화된 스털링 릿지로 유도된 헬모르픽 윌러킹 형식의 메로모르픽 모듈라 형식의 CM 값의 노름에 대한 유한하고 명시적인 공식을 유도한다.
• Koecher 원리의 장애를 조화 윌러킹 형식을 통해 극복하여 Q를 초월한 수체 위에서 Borcherds 곱과 정규화된 θ-리프트 이론을 확장한다.

제안 방법

• 전체 실수체 위의 직교군에서 자동형 그린 함수와 메로모르픽 모듈라 형식을 구성하기 위해 조화 윌러킹 형식의 정규화된 θ-리프트를 사용한다.
• 시-세이드 dualit 및 Siegel-Weil 공식을 적용하여 자동형 그린 함수를 Rankin-Selberg L-함수와 연결한다.
• 기저 체의 모든 실수 임베딩에서 아르키메데스 성분의 높이 쌍대를 적분 표현으로 구성하며, 각 위치에서 국소 기여를 포함한다.
• 모든 실수 임베딩에서 국소 아르키메데스 높이를 조각내어 CM 값의 노름에 대한 전역적으로 유한한 표현을 얻는다.
• Eisenstein 시리즈 $\mathcal{E}_N^{(0)}$의 푸리에 전개와 degree 공식 $\deg Z(\mathcal{O}_k) = \frac{4}{w_k} h_k$를 사용하여 주 공식의 지수 항을 평가한다.
• 클래스 수 및 조정 수식을 활용하여 중심 전하 항을 단순화하여 $C=1$인 깔끔한 표현을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수체 위의 직교군에서 자동형 그린 함수의 CM 값을 명시적으로 계산할 수 있는가? 이는 Gross-Zagier 및 Schofer 결과를 확장하는가?
• RQ2 일반적인 전체 실수체에서 산술 특수 나열과 CM 사이클 간의 높이 쌍대에 대한 아르키메데스 기여는 무엇인가?
• RQ3 정규화된 스털링 릿지로 유도된 조화 윌러킹 형식은 어떻게 메로모르픽 모듈라 형식을 만들며, 제어 가능한 CM 값을 갖도록 할 수 있는가?
• RQ4 국소 적분이 개별적으로 평가할 수 없음에도 불구하고, 이러한 모듈라 형식의 CM 값의 노름에 대한 유한하고 폐쇄형 표현이 존재하는가?

주요 결과

• 형식 $\tilde{t}$의 CM 값의 노름이 사이클 $Z(\mathcal{O}_{-3}) = \frac{2}{3}P_3$에서 $2^{12} \cdot 3^6$이며, 이는 $C=1$인 공식과 일치한다.
• CM 사이클 $\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d)$에 대해, 노름 $\operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}\tilde{t}(\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d))$는 소수에 대한 유한한 곱으로 주어지며, $d = -8, -11, -15, -19, -23$ 및 기타 값들에 대해 명시적인 값이 계산되었다.
• 형식 $\tilde{t}$의 $Z(\mathcal{O}_d)$에서의 노름 공식은 $C^{\deg Z(W)} \exp\left(-\frac{\deg Z(W)}{4} \operatorname{CT}\langle\mathcal{P}, \Theta_P \otimes \mathcal{E}_N^{(0)}\rangle\right)$이며, $C=1$으로, $d=-3$의 경우에서 도출되었다.
• $\tilde{t}_{-8}(z) = \tilde{t}(z) - \tilde{t}(P_8)$의 CM 점에서의 CM 값은 Elkies의 수치 데이터와 일치하여 방법의 타당성을 검증하였다.
• $d = -8$일 때 노름은 $\frac{2^{12} \cdot 7^9 \cdot 167^6 \cdot 239^6}{13^{21}}$, $d = -11$일 때는 $\frac{2^{18} \cdot 7^9 \cdot 11^3 \cdot 43^6 \cdot 127^6 \cdot 139^6 \cdot 307^6 \cdot 659^6}{13^{21} \cdot 83^{21}}$이며, 이는 공식을 확인한다.
• 이 방법은 $\mathcal{O}_F$에서 분해되고 2에서 비분할 $k_d/F$인 6개의 유리수 소수 $p \leq 1000$에 대해 CM 값을 성공적으로 계산하였으며, $p = 167, 239, 251$ 포함하여 명시적인 유리수 노름을 도출하였다.