[논문 리뷰] Co-Degeneracy and Co-Treewidth: Using the Complement to Solve Dense Instances

Johan M. M. van Rooij, Hans L. Bodlaender외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 46인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 빠른 부분집합 컨볼루션과 빠른 행렬 곱셈을 일반화하고 통합하여 나무, 분기, 클리크 분해에서 더 빠른 동적 프로그래밍 알고리즘을 제안한다. 트리 분해에서 독립 집합 문제에 대해 O*(3^k) 시간, 분기 분해에서 완벽 매칭 수를 센 데는 O*(2^k) 시간, 클리크 분해에서 총 독립 집합 문제에 대해 O*(4^k) 시간을 달성하며, 이는 이전의 경계를 향상시키고 강력한 지수 시간 가설 하에서 이론적 한계에 가까워진다.

ABSTRACT

Clique-width and treewidth are two of the most important and useful graph parameters, and several problems can be solved efficiently when restricted to graphs of bounded clique-width or treewidth. Bounded treewidth implies bounded clique-width, but not vice versa. Problems like Longest Cycle, Longest Path, MaxCut, Edge Dominating Set, and Graph Coloring are fixed-parameter tractable when parameterized by the treewidth, but they cannot be solved in FPT time when parameterized by the clique-width unless FPT = W[1], as shown by Fomin, Golovach, Lokshtanov, and Saurabh [SIAM J. Comput. 2010, SIAM J. Comput. 2014]. For a given problem that is fixed-parameter tractable when parameterized by treewidth, but intractable when parameterized by clique-width, there may exist infinite families of instances of bounded clique-width and unbounded treewidth where the problem can be solved efficiently. In this work, we initiate a systematic study of the parameters co-treewidth (the treewidth of the complement of the input graph) and co-degeneracy (the degeneracy of the complement of the input graph). We show that Longest Cycle, Longest Path, and Edge Dominating Set are FPT when parameterized by co-degeneracy. On the other hand, Graph Coloring is para-NP-complete when parameterized by co-degeneracy but FPT when parameterized by the co-treewidth. Concerning MaxCut, we give an FPT algorithm parameterized by co-treewidth, while we leave open the complexity of the problem parameterized by co-degeneracy. Additionally, we show that Precoloring Extension is fixed-parameter tractable when parameterized by co-treewidth, while this problem is known to be W[1]-hard when parameterized by treewidth. These results give evidence that co-treewidth is a useful width parameter for handling dense instances of problems for which an FPT algorithm for clique-width is unlikely to exist. Finally, we develop an algorithmic framework for co-degeneracy based on the notion of Bondy-Chvátal closure.

연구 동기 및 목표

• 그래프 분해에서 동적 프로그래밍 알고리즘의 지수 시간 복잡도를 향상시키는 것.
• 트리너비, 분기너비, 클리크너비가 유한한 그래프에서 NP-난이도 문제의 실행 시간 지수 요소의 기수를 줄이는 것.
• 빠른 부분집합 컨볼루션을 다중 상태와 다중 랭크와 결합한 효율적인 동적 프로그래밍을 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 향상된 실행 시간이 강력한 지수 시간 가설 하에서 이론적 하한과 가까운지 또는 일치하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 빠른 부분집합 컨볼루션을 다중 상태와 다중 랭크를 지원하도록 일반화하여 동적 프로그래밍 테이블에서의 효율적 계산을 가능하게 하는 것.
• 일반화된 부분집합 컨볼루션 기법을 나무, 분기, 클리프 분해에 적용하여 상태 전이를 가속화하는 것.
• 분기 및 클리프 분해에서의 동적 프로그래밍 효율성을 향상시키기 위해 비대칭 정점 상태를 도입하는 것.
• Dorn의 접근 방식을 영감으로 받아 일반화된 부분집합 컨볼루션을 빠른 행렬 곱셈과 결합하여 계산을 더욱 가속화하는 것.
• 등가 클래스 수를 제한하고 유한한 상태 표현을 보장하기 위해, de Fluiter 성질을 가진 정규화된 동적 프로그래밍 테이블을 사용하는 것.
• 그래프 분해의 구조를 활용하여 상태 공간을 줄이고, 독립 집합 문제 및 완벽 매칭 수 계산과 같은 문제의 계산을 최적화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 분해의 맥락에서 빠른 부분집합 컨볼루션을 다중 상태와 다중 랭크를 지원하도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 트리 분해에서 동적 프로그래밍의 지수 기수 중 최소 기수가 얼마이며, 실용적인 알고리즘으로 이를 달성할 수 있는가?
• RQ3 빠른 행렬 곱셈을 부분집합 컨볼루션과 어떻게 통합하여 분기 분해에서의 실행 시간을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 향상된 실행 시간이 강력한 지수 시간 가설 하에서 이론적 하한에 얼마나 가까이 도달하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 나무, 분기, 클리프 분해 전반에 걸쳐 균일하게 적용되어 광범위한 문제 클래스에 대해 거의 최적의 알고리즘을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 너비 k인 트리 분해에서 독립 집합 문제에 대해 O*(3^k) 시간 알고리즘을 달성하였으며, 이는 이전의 O*(4^k) 경계를 향상시킨 것이다.
• 유한하거나 코유한 ρ 및 σ를 가진 [ρ,σ]-독립 집합 문제에 대해, 각 정점의 상태 수가 s일 때 O*(s^k)-시간 알고리즘을 제시한다.
• 완벽 매칭 수를 센 데는 O*(2^k)-시간 알고리즘을 개발하였으며, 이는 기존에 알려진 최고의 지수 시간 알고리즘과 일치한다.
• 분기 분해에서는 독립 집합 문제에 대해 O*(3^(ω/2 k)) 시간, 완벽 매칭 수 계산에 대해 O*(2^(ω/2 k)) 시간을 달성하였으며, 여기서 ω는 행렬 곱셈의 지수이다.
• 클리프 분해에서는 독립 집합 문제, 독립 독립 집합 문제, 총 독립 집합 문제에 대해 O*(4^k)-시간 알고리즘을 제시한다.
• 결과는 거의 최적임을 입증하였으며, 지수 기수를 더 줄이면 강력한 지수 시간 가설에 위배된다.