[논문 리뷰] Coactions of a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra on unital $C^*$-algebras, unital inclusions of unital $C^*$-algebras and the strong Morita equivalence

Kazunori Kodaka, Tamotsu Teruya|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 작동 대수 이론에서 알려진 결과의 역을 확립한다: 유일한 포함관계 $ A \subset A \rtimes_{\rho,u}H $ 와 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 가 유한 차원 $ C^* $-Hopf 대수 $ H^0 $ 의 비틀린 코행렬에 의해 유도된 것으로, 만약 이 포함관계들이 강한 모리타 등가이면, 그리고 상대적 중심 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 이면, 비틀린 코행렬 $ (\rho,u) $ 와 $ (\sigma,v) $ 는 $ H^0 $ 의 자동형사상에 의한 강한 모리타 등가를 가진다. 이 결과는 그들의 교차곱의 강한 모리타 등가류를 통해 비틀린 코행렬의 분류를 제공한다.

ABSTRACT

Let $A$ and $B$ be unital $C^*$-algebras and let $H$ be a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra. Let $H^0$ be its dual $C^*$-Hopf algebra. Let $(ρ, u)$ and $(σ, v)$ be twisted coactions of $H^0$ on $A$ and $B$, respectively. In this paper, we shall show the following theorem: We suppose that the unital inclusions $A\subset A times_{ρ, u}H$ and $B\subset B times_{σ, v}H$ are strongly Morita equivalent. If $A'\cap (A times_{ρ, u}H)=\BC1$, then there is a $C^*$-Hopf algebra automorphism $λ^0$ of $H^0$ such that the twisted coaction $(ρ, u)$ is strongly Morita equivalent to the twisted coaction $((\id_B \otimesλ^0 )\circσ\, , \, (\id_B \otimesλ^0 \otimesλ^0 )(v))$ induced by $(σ, v)$ and $λ^0$.

연구 동기 및 목표

• 유일한 포함관계 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 와 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 의 강한 모리타 등가성과 그 기저가 되는 비틀린 코행렬 $ (\rho,u) $ 와 $ (\sigma,v) $ 의 강한 모리타 등가성 사이의 역관계를 조사하는 것.
• 강한 모리타 등가성의 교차곱 포함관계가 이에 대응하는 비틀린 코행렬의 등가성으로 이어지는 조건, 즉 쌍대 $ C^* $-Hopf 대수의 자동형사상에 의한 등가성으로서의 조건을 규명하는 것.
• 강한 모리타 등가류를 통한 유일한 $ C^* $-대수 위의 비틀린 코행렬에 대한 분류 결과를 수립하는 것.
• 이전의 비틀린 코행렬의 강한 모리타 등가성 결과를 확장하여, 상대적 중심의 비퇴화 조건 하에서 역의 포함관계를 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ H $ 와 $ H^0 $ 사이의 쌍대성에 기반하여, $ H $ 상의 푸리에 변환을 통해 비틀린 코행렬을 쌍대 작용으로 식별한다.
• 그들은 힐버트 $ C^* $-이중모듈러스 이론과 포함관계의 강한 모리타 등가성을 적용하며, [11, 정의 2.1] 과 등가 이중모듈러스의 존재에 의존한다.
• 핵심 기법은 $ H^0 $ 의 $ C^* $-Hopf 대수 자동형사상 $ \lambda^0 $ 에 의해 유도된 교차곱 $ A\rtimes_{\rho,u}H $ 와 $ A\rtimes_{\rho_{\lambda^0},u_{\lambda^0}}H $ 사이의 동형사상 $ \pi $ 를 구성하는 것으로, 이러한 자동형사상이 포함관계의 모리타 등가류를 유지함을 보인다.
• 그들은 비틀린 코행렬 $ (\rho,u) $ 의 쌍대 코행렬 $ \widehat{\rho} $ 와 $ \lambda^0 $ 에 의해 유도된 비틀린 코행렬의 쌍대를 연결하며, [10, 보조정리 4.8] 의 결과를 활용한다.
• 증명은 레마 5.3 과 6.1 을 이용하여 $ \lambda^0 $ 에서의 쌍대 코행렬과 비틀린 코행렬을 연결하고, 동형사상 $ \pi $ 를 통해 포함관계 간의 모리타 등가성을 전달한다.
• 조건 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 는 포함관계가 비퇴화되어 있음을 보장하며, 이를 통해 코행렬을 연결하는 유일한 자동형사상 $ \lambda^0 $ 의 구성이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 모리타 등가성의 유일한 포함관계 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 와 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 가 비틀린 코행렬 $ (\rho,u) $ 와 $ (\sigma,v) $ 의 강한 모리타 등가성을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유한 차원 $ C^* $-Hopf 대수의 맥락에서, 기존에 알려진 함의(코행렬의 모리타 등가성 → 포함관계의 모리타 등가성)의 역을 확립할 수 있는가?
• RQ3 두 비틀린 코행렬의 교차곱 포함관계가 강한 모리타 등가일 경우, 이를 연결하는 쌍대 $ C^* $-Hopf 대수 $ H^0 $ 의 표준 자동형사상이 존재하는가?
• RQ4 상대적 중심 조건 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 는 코행렬의 구조에 어떤 제약을 끼치며, 모리타 등가성을 통한 코행렬의 분류를 가능하게 하는가?
• RQ5 강한 모리타 등가류가 비틀린 코행렬의 교차곱 포함관계의 강한 모리타 등가류에 의해 얼마나 잘 결정되는가?

주요 결과

• 유일한 포함관계 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 와 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 가 강한 모리타 등가이면서 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 이면, $ H^0 $ 의 $ C^* $-Hopf 대수 자동형사상 $ \lambda^0 $ 가 존재하여 $ (\rho,u) $ 는 $ ((\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0) \circ \sigma, (\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0 \otimes \lambda^0)(v)) $ 와 강한 모리타 등가가 된다.
• $ \lambda^0 $ 는 $ H $ 의 $ C^* $-Hopf 대수 자동형사상 $ \lambda $ 에 의해 유도되며, 모든 $ \psi \in H^0 $, $ h \in H $ 에 대해 $ \lambda^0(\psi)(h) = \psi(\lambda^{-1}(h)) $ 를 만족한다.
• 이 결과는 알려진 함의의 역을 확립한다: 비퇴화 조건 하에서, 포함관계의 강한 모리타 등가성은 $ H^0 $ 의 자동형사상에 의한 코행렬의 강한 모리타 등가성으로 이어진다.
• 증명은 포함관계의 모리타 등가성을 유지하는 교차곱 사이의 동형사상 $ \pi $ 를 구성하며, 이는 포함관계 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 가 $ \lambda^0 $ 에 의한 변형과 강한 모리타 등가임을 보여준다.
• 포함관계와 코행렬 간의 등가성은 쌍대 코행렬과 힐버트 $ C^* $-이중모듈러스의 활용을 통해 확립되며, 핵심은 조건 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 가 자동형사상 $ \lambda^0 $ 의 유일성을 보장함으로써 등가성의 유도를 가능하게 한다.
• 보조정리 6.5 는 두 조건의 등가성을 증명한다: (1) 포함관계의 강한 모리타 등가성, (2) 비틀린 코행렬이 유도된 코행렬을 통해 강한 모리타 등가가 되는 자동형사상 $ \lambda^0 $ 의 존재.