[논문 리뷰] Coalgebroids in monoidal bicategories and their comodules

Ramón Abud Alcalá|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모나이드 이중범주 내에서 opmonoidal 화살이 존재하는 comodule에 대한 통합적 프레임워크를 수립하며, oplax 작용을 핵심 도구로 도입한다. 세 가지 comodule의 정의가 동치임을 증명하고, opmonoidal 화살이 모나드일 경우, 잊어버림 함자에 의해 강한 모나드 함자가 되는 comodule의 범주가 모나이드 구조를 물려받음을 보인다. 이는 양자 범주 이론을 더 넓은 이중범주적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Quantum categories have been recently studied because of their relation to bialgebroids, small categories, and skew monoidales. This is the first of a series of papers based on the author's PhD thesis in which we examine the theory of quantum categories developed by Day, Lack, and Street. A quantum category is an opmonoidal monad on the monoidale associated to a biduality $R\dashv R^{\circ}$, or enveloping monoidale, in a monoidal bicategory of modules $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$ for a monoidal category $\mathcal{V}$. Lack and Street proved that quantum categories are in equivalence with right skew monoidales whose unit has a right adjoint in $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$. Our first important result is similar to that of Lack and Street. It is a characterisation of opmonoidal \emph{arrows} on enveloping monoidales in terms of a new structure named \emph{oplax action}. We then provide three different notions of comodule for an opmonoidal arrow, and using a similar technique we prove that they are equivalent. Finally, when the opmonoidal arrow is an opmonoidal monad, we are able to provide the category of comodules for a quantum category with a monoidal structure such that the forgetful functor is monoidal.

연구 동기 및 목표

• 2-범주적 도구를 사용하여 전통적인 모듈 이론적 설정을 초월해 이중대칭대수와 양자 범주의 이론을 일반화하기 위해.
• 특히 봉합 모나이드레에 대한 맥락에서 모나이드 이중범주 내에서 opmonoidal 화살에 대한 comodule에 대한 통합적 접근을 제공하기 위해.
• opmonoidal 화살에 대한 세 가지 서로 다른 comodule 정의가 동치임을 입증하여 기초적인 구조를 명확히 하기 위해.
• opmonoidal 화살이 opmonoidal 모나드일 경우, comodule의 범주가 강한 모나드 잊어버림 함자를 통해 모나이드 구조를 갖게 되는 것을 보여주기 위해.
• Day, Lack, 그리고 Street의 양자 범주에 대한 결과를 opmonadic 수반관계와 oplax 작용을 사용하여 더 일반적인 이중범주적 프레임워크로 확장하기 위해.

제안 방법

• 봉합 모나이드레에서 opmonoidal 화살을 특성화하기 위해 새로운 구조인 oplax 작용을 도입하며, opmonoidal 모나드의 개념을 일반화한다.
• opmonoidal 화살과 oplax 작용 사이의 동치성을 이용하여 이러한 화살에 대한 세 가지 서로 다른 comodule 정의를 정의하고 비교한다.
• opmonadic 수반관계와 쌍대 수반관계 이론을 적용하여 comodule를 관련된 모나드와 코모나드 위의 모듈과 연결한다.
• Kleisli 구성과 비교 함자를 사용하여 범주 간의 전성과 본질적 전성(essential surjectivity)을 증명하고, comodule의 범주 간 동치를 확립한다.
• Mod(V)의 모나이드 이중범주 구조와 이중대칭관계 R ⊣ R◦를 활용하여 봉합 모나이드레 R◦⊗R를 정의하고, comodule 범주에 모나이드 구조를 옮긴다.
• 이중범주 내의 수평 합성과 일관성 이sovorphism을 사용하여 comodule의 모나이드 구조에서 결합자와 항등원을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나이드 이중범주 내에서 opmonoidal 화살에 대한 comodule는 여러 동치 방식으로 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 oplax 작용은 봉합 모나이드레에서 opmonoidal 화살을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 opmonoidal 모나드의 comodule 범주가 어떤 조건에서 모나이드 구조를 갖게 되는가?
• RQ4 표준적인 코이형대수와 이중대칭대수의 comodule 정의는 opmonoidal 화살을 통한 새로운 프레임워크와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 comodule의 범주에서 기본 범주로의 잊어버림 함자가 모나이드일 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이중범주 내에서 일련의 이sovorphism과 동치관계를 통해 opmonoidal 화살에 대한 세 가지 서로 다른 comodule 정의가 동치임을 증명한다.
• 봉합 모나이드레에서 opmonoidal 모나드에 대한 comodule의 범주는, 기본 범주로의 잊어버림 함자가 강한 모나드 함자가 되는 모나이드 구조를 갖는다.
• comodule의 모나이드 구조는 수평 합성과 일관성 이sovorphism을 사용하여 구성되며, 결합자와 항등원은 모나드의 구조에서 유도된다.
• 모티베이션 사례 M = Mod_k에서, 결과는 기존의 코이형대수와 이중대칭대수에 대한 comodule 정의를 복원하고 통합하며, oplax 작용, 표준 코행동, opmonoidal 화살 간의 동치성을 보여준다.
• oplax 작용을 통한 정의와 코행동을 통한 정의 사이의 동치관계가 확립되며, 유일한 차이점은 기초 모듈 범주(즉, R-Mod-S 대비 Mod-S)에 국한된다.
• 정리 7.19는 opmonoidal 모나드 B가 봉합 모나이드레 R◦R 위에 존재할 경우, 범주 rComodB((R, e1), (R, e1))가 모나이드 구조를 가지며, M(R, R)로의 잊어버림 함자가 강한 모나드 함자임을 확인한다.