[논문 리뷰] Coarse Baum-Connes conjecture and rigidity for Roe algebras

Bruno de Mendonça Braga, Yeong Chyuan Chung외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거친 Baum-Connes 추측과 Roe 대수의 강성 간의 연결고리를 설정하며, 두 개의 균일하게 국소 유한한 거리 공간이 $*$-동형인 Roe 대수를 가지며, 그 중 하나가 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족한다면, 그 공간들은 거친 동치임을 증명한다. 주요 기여는 힐버트 공간에 거친 임베딩 가능한 공간들 너머로 강성 결과를 확장하여, 유령 프로젝션 성질을 갖는 더 넓은 클래스의 공간으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we connect the rigidity problem and the coarse Baum-Connes conjecture for Roe algebras. In particular, we show that if $X$ and $Y$ are two uniformly locally finite metric spaces such that their Roe algebras are $*$-isomorphic, then $X$ and $Y$ are coarsely equivalent provided either $X$ or $Y$ satisfies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. It is well-known that coarse embeddability into a Hilbert space implies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. On the other hand, we provide a new example of a finitely generated group satisfying the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients but which does not coarsely embed into a Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측과의 연결을 통해 Roe 대수의 강성 문제를 다루는 것.
• Hilbert 공간에 거친 임베딩 가능한 공간들 너머로 알려진 강성 결과를 더 큰 클래스의 거리 공간으로 확장하는 것.
• 모든 희박한 부분공간이 그들의 Roe 대수에서 오직 컴팩트한 유령 프로젝션만을 유도하는 새로운 거리 공간의 클래스를 특성화하는 것.
• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족하지만 Hilbert 공간에 거친 임베딩되지 않는 유한 생성 군을 제공하여 열린 질문에 답하는 것.
• 비가역군에 대해 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측 하에 균일 Roe 이중성 강성을 확립하는 것.

제안 방법

• 모든 희박한 부분공간이 그들의 Roe 대수에서 오직 컴팩트한 유령 프로젝션만을 유도하는 기하적 조건을 도입하고 분석하는 것.
• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 사용하여 Roe 대수에서 비컴팩트 유령 프로젝션의 존재를 배제하는 것.
• 경계 거친 Baum-Connes 조립 사상과 군의 군oid 와의 와이드곱을 통한 표준 Baum-Connes 사상 간의 관계를 적용하는 것.
• Hilbert 공간으로의 거친 임베딩이 이 기하적 조건을 함의하지만, 이 조건이 엄밀히 더 약한 조건임을 보이는 것.
• Roe 대수와 안정적/균일 Roe 대수 간의 $*$-동형을 이용하여 추측 가정 하에 거친 동치를 도출하는 것.
• 기하적 조건을 사용하여 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족하지만 Hilbert 공간에 거친 임베딩되지 않는 유한 생성 군을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측이 $*$-동형인 Roe 대수를 가진 공간들이 거친 동치임을 암시하는가?
• RQ2 희박한 부분공간에서의 유령 프로젝션에 대한 기하적 조건이 Hilbert 공간으로의 거친 임베딩보다 엄밀히 더 약한가?
• RQ3 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족하지만 Hilbert 공간으로 거친 임베딩되지 않는 유한 생성 군이 존재하는가?
• RQ4 Roe 대수의 대수적 동형에 기반해 어떤 조건에서 거리 공간의 Roe 강성 또는 균일 Roe 강성이 성립하는가?
• RQ5 비가역군에 대해 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측이 균일 Roe 이중성 강성을 암시하는가?

주요 결과

• 만약 두 개의 균일하게 국소 유한한 거리 공간 $X$와 $Y$가 $*$-동형인 Roe 대수를 가지며, 그 중 하나가 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족한다면, $X$와 $Y$는 거친 동치이다.
• 모든 희박한 부분공간이 오직 컴팩트한 유령 프로젝션만을 유도하는 기하적 조건은 Hilbert 공간으로의 거친 임베딩보다 엄밀히 더 약한 조건이다.
• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족하지만 Hilbert 공간으로 거친 임베딩되지 않는 새로운 예시의 유한 생성 군이 구성되었다.
• 모든 희박한 부분공간이 오직 컴팩트한 유령 프로젝션만을 유도하는 조건은 균일하게 국소 유한한 거리 공간에 대해 균일 Roe 강성을 암시한다.
• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측을 만족하는 비가역 거리 공간에 대해 균일 Roe 이중성 강성이 성립한다.
• 계수를 가진 거친 Baum-Connes 추측은 Roe 대수에서 비컴팩트 유령 프로젝션의 부재를 암시하며, 이는 강성 결과의 핵심이다.