[논문 리뷰] Coarse categories I: foundations

Viêt-Trung Luu|ArXiv.org|2007. 08. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비단위 코arse 공간과 국소적으로 올바른 사상에 대해 모듈로 가까움을 고려한 일반화된 코arse 범주인 Crs를 도입하여 코arse 기하학에 기초적인 범주론적 프레임워크를 수립한다. Crs가 모든 비영인 극한과 쌍극한을 갖는 것으로 보여지고, 부재한 종단 대상에 대한 대체로 종단 함자를 도입하며, 특히 연속적으로 제어되는 공간과 몫 구성에서 Roe C*-대수와 그 K-이론을 체계적으로 발전시킬 수 있는 범주론적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

Following Roe and others (see, e.g., [MR1451755]), we (re)develop coarse geometry from the foundations, taking a categorical point of view. In this paper, we concentrate on the discrete case in which topology plays no role. Our theory is particularly suited to the development of the_Roe (C*-)algebras_ C*(X) and their K-theory on the analytic side; we also hope that it will be of use in the strictly geometric/algebraic setting of controlled topology and algebra. We leave these topics to future papers. Crucial to our approach are nonunital coarse spaces, and what we call _locally proper_ maps (which are actually implicit in [MR1988817]). Our_coarse category_ Crs generalizes the usual one: its objects are nonunital coarse spaces and its morphisms (locally proper) coarse maps modulo_closeness_. Crs is much richer than the usual unital coarse category. As such, it has all nonzero limits and all colimits. We examine various other categorical issues. E.g., Crs does not have a terminal object, so we substitute a_termination functor_ which will be important in the development of exponential objects (i.e., "function spaces") and also leads to a notion of_quotient coarse spaces_. To connect our methods with the standard methods, we also examine the relationship between Crs and the usual coarse category of Roe. Finally we briefly discuss some basic examples and applications. Topics include_metric coarse spaces_,_continuous control_ [MR1277522], metric and continuously controlled_coarse simplices_,_sigma-coarse spaces_ [MR2225040], and the relation between quotient coarse spaces and the K-theory of Roe algebras (of particular interest for continuously controlled coarse spaces).

연구 동기 및 목표

• 표준 코arse 범주를 비단위 코arse 공간과 국소적으로 올바른 사상으로 일반화함으로써 코arse 기하학에 대한 범주론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 모든 비영인 극한과 쌍극한을 갖는 범주 Crs를 수립하여 체계적인 대수적 및 위상수학적 구성이 가능하도록 하는 것.
• Crs에서 부재한 종단 대상에 대한 대체로 종단 함자를 도입하여 함수 공간과 몫 코arse 공간의 정의를 가능하게 하는 것.
• 범주론적 프레임워크를 분석적 K-이론과 Roe C*-대수의 K-이론 간의 연결고리로 활용하여, 특히 연속적으로 제어되는 공간과 메트릭 코arse 공간의 맥락에서의 관계를 규명하는 것.
• 지속적인 제어된 위상수학과 Roe 대수의 K-이론을 위한 향후 연구를 위한 기반을 마련하기 위해 범주론적 도구를 통해 지수 객체, 제어된 위상수학, Roe 대수의 K-이론을 다루는 것.

제안 방법

• 비단위 코arse 공간과 국소적으로 올바른 사상을 정의하여, 단위성과 올바름 조건을 완화함으로써 표준 코arse 사상의 일반화를 수행한다.
• 비단위 코arse 공간을 대상으로 하고, 가까움에 대해 모듈로 한 국소적으로 올바른 코arse 사상을 사상으로 갖는 코arse 범주 Crs를 구성한다.
• Crs가 모든 비영인 극한과 쌍극한을 갖는 것을 증명하며, 섬유곱과 몫을 이용한 명시적 구성 방법을 제시한다.
• 각 코arse 공간에 종단 대상과 유사한 대상을 부여하는 종단 함자를 도입하여, 함수 공간과 몫 코arse 공간의 정의를 가능하게 한다.
• 절단성과 표준 K-이론 도구를 사용하여, 연속적으로 제어되는 열린 코ーン OM과 ON에 대해 Roe 대수의 K-이론과 축소 K-호모로지 간의 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• Eilenberg 스윙과 K-이론의 장점 정렬을 사용하여, 구와 코너에 대한 Roe 대수의 K-군을 계산하고, 고전적 K-호모로지와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코arse 기하학은 어떻게 체계적으로 범주론적 관점에서 발전시킬 수 있으며, 특히 표준 코arse 범주를 일반화함으로써 비단위 코arse 공간을 포함하는가?
• RQ2 비단위 코arse 공간의 범주가 가지는 범주론적 성질(예: 극한, 쌍극한, 종단 대상)은 무엇이며, 종단 대상의 부재를 어떻게 보완할 수 있는가?
• RQ3 연속적으로 제어되는 코arse 공간, 예를 들어 컴act 공간 위의 열린 코너와 같은 경우, Roe C*-대수의 K-이론은 고전적 K-호모로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Crs의 범주론적 프레임워크는 종단 함자를 통해 함수 공간과 몫 코arse 공간의 구성에 기여할 수 있는가?
• RQ5 제어된 맥락에서 몫 공간에 대한 Roe 대수의 K-이론과 상대 K-호모로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 가까움에 대해 모듈로 한 국소적으로 올바른 사상을 갖는 비단위 코arse 공간의 범주 Crs는 모든 비영인 극한과 쌍극한을 갖는다. 이러한 극한과 쌍극한은 명시적으로 구성 가능하다.
• Crs는 종단 대상을 갖지 않지만, 종단 함자를 도입함으로써 종단 대상에 대한 범주론적 대체를 제공하며, 이는 지수 객체와 몫 코arse 공간의 정의에 필수적이다.
• 콤팩트하고 두 번 가산적인 공간 M과 N에 대한 연속적으로 제어되는 열린 코너 OM과 ON에 대해, Roe 대수의 K-이론과 축소 K-호모로지 간의 자연스러운 동형사상이 존재한다: K•(C∗(OM)) ≅ ˜K•−1(M).
• 삼중체 (X, Y, X/[Y])에 대한 K-이론의 장점 정렬은 축소 K-호모로지 정렬과 자연스럽게 대응하며, 적절한 조건 하에서 K•(C∗(X/[Y])) ≅ K•−1(M, N)가 성립한다.
• C∗(OS⁰)의 K-이론은 홀수 차수에서 ℤ와 동형이며, 짝수 차수에서는 0이다. 이는 Eilenberg 스윙과 C*-대수의 짧은 정확한 수열을 통해 계산된다.
• 귀납적으로, C∗(OSⁿ)의 K-이론은 차수 ≡ n−1 mod 2일 때 ℤ이고, 그 외의 경우 0이다. 이는 구의 K-호모로지와 연결되며, Kasparov K-호모로지의 코arse 기하학적 기술을 뒷받침한다.