[논문 리뷰] Coarse-grained dynamics of operator and state entanglement

Cheryne Jonay, David A. Huse외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 28.

Quantum many-body systems참고 문헌 20인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 혼돈적인 양자 다체계에서의 얽힘 동역학을 위한 군집적인 유체역학 이론을 개발하며, 연산자와 상태의 얽힘 증가가 시공간에서 '표면장력'을 나타내는 모델에 의존하는 함수 𝒟(𝐯)에 의해 지배됨을 보여준다. 이는 같은 공간적 범위를 가진 일반적인 연산자에 비해 확산되는 연산자가 상당히 덜 얽혀 있음을 드러내며, 피라미드 형태의 얽힘 프로파일을 통해 이 얽힘의 구조적 억제를 정량화하고, 시간 진동 연산자 얽힘을 수치적으로 추출한다.

ABSTRACT

We give a detailed theory for the leading coarse-grained dynamics of entanglement entropy of states and of operators in generic short-range interacting quantum many-body systems. This includes operators spreading under Heisenberg time evolution, which we find are much less entangled than "typical" operators of the same spatial support. Extending previous conjectures based on random circuit dynamics, we provide evidence that the leading-order entanglement dynamics of a given chaotic system are determined by a function $\mathcal{E}(v)$, which is model-dependent, but which we argue satisfies certain general constraints. In a minimal membrane picture, $\mathcal{E}(v)$ is the "surface tension" of the membrane and is a function of the membrane's orientation $v$ in spacetime. For one-dimensional (1D) systems this surface tension is related by a Legendre transformation to an entanglement entropy growth rate $Γ(\partial S/\partial x)$ which depends on the spatial "gradient" of the entanglement entropy $S(x,t)$ across the cut at position $x$. We show how to extract the entanglement growth functions numerically in 1D at infinite temperature using the concept of the operator entanglement of the time evolution operator, and we discuss possible universality of $\mathcal{E}$ at low temperatures. Our theoretical ideas are tested against and informed by numerical results for a quantum-chaotic 1D spin Hamiltonian. These results are relevant to the broad class of chaotic many-particle systems or field theories with spatially local interactions, both in 1D and above.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 국소적 상호작용을 갖는 양자 시스템에서 엔트로피 동역학을 군집적 유체역학적으로 기술하는 것.
• 같은 공간적 지지대를 가진 일반적인 연산자에 비해 확산되는 연산자가 왜 덜 얽혀 있는지 이해하는 것.
• 얽힘 생성 속도를 지배하는 모델 특화 함수 𝒟(𝐯)을 식별하고 추출하는 것. 이 함수는 시공간적 '표면장력'으로 해석된다.
• 종단장력과 종단속도를 시간 진동 연산자 얽힘에서 추출하는 것을 목적으로 한다.
• 저온에서의 얽힘 동역학의 보편성과 보존 법칙의 역할을 탐색하는 것.

제안 방법

• 얽힘은 방향 𝐯를 가진 시공간 막의 에너지로 매핑되는 군집적 막 모형을 도입하며, 이는 표면장력 함수 𝒟(𝐯)에 의해 지배된다.
• 얽힘 생성 속도 Γ(∂S/∂x)와 표면장력 함수 𝒟(𝐯)를 연결하기 위해 레지오르드 변환을 사용하여, 엽산의 공간 기울기와 동역학을 연결한다.
• 1D 시스템에서 무한온도 조건에서 𝒟eff(v)를 수치적으로 추출하기 위해 시간 진동 연산자 U(t)의 연산자 얽힘을 정의하고 계산한다.
• 파울리 무게 W(L,t)와 그 시간 도함수를 사용하여, 연산자 프론트가 시스템 경계에 도달하는 도착 시간 t_arrival를 정의함으로써, 버블리 스피드 v_B를 추출한다.
• 얽힘 프로파일과 연산자 확산에 대해 크기 제한을 고려한 스케일링을 수행하여 s_spread와 v_B를 추정하며, 열역학적 극한으로 수렴함을 확인한다.
• L=8에서 14까지의 수치 시뮬레이션을 통해 양자 혼돈성 이징 체인 H = ∑Z_i Z_{i+1} + h∑Z_i + g∑X_i 에 이 те올리를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈적인 양자 시스템에서 엽산의 군집적 동역학은 잘라낸 절단에서 엽산의 공간 기울기에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 왜 혼돈적인 시스템에서 확산되는 연산자는 같은 공간적 지지대를 가진 일반적인 연산자보다 덜 얽혀 있는가?
• RQ3 표면장력 함수 𝒟(𝐯)의 함수 형태는 무엇이며, 어떤 일반적인 제약 조건을 만족하는가?
• RQ4 시간 진동 연산자 얽힘으로부터 얽힘 증가 속도와 버블리 속도를 추출할 수 있는가?
• RQ5 𝒟(𝐯) 함수는 다양한 혼돈 시스템에서 보편적인가? 특히 저온에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 1D에서 확산되는 연산자의 엽산 프로파일 S(x,t)는 엽합성 증가의 국소화된 프론트를 나타내는 피라미드 형태를 띤다.
• 확산되는 연산자는 같은 공간적 범위를 가진 일반적인 연산자에 비해 상당히 덜 얽혀 있으며, 최대 가능 얽힘에 비해 얽힘의 억제가 있다.
• 시간 진동 연산자 U(t)에서 추출한 효과적 표면장력 𝒟eff(v)는 L/t 비율로 늦은 시점에 감소하는 유한체 효과를 보이며, L=12일 때 t=6까지 신뢰할 수 있는 데이터 추출이 가능하다.
• 도착 시간이 ∂W(L,t)/∂t의 피크로 정의된 바, t_arrival 대 시스템 크기 L의 피팅을 통해 버블리 속도 v_B ≃ 1.82로 추정된다.
• L=8에서 14까지의 외삽을 통해 엽합성 확산 속도 s_spread는 L→∞일 때 0.9–1.0의 범위로 수렴한다.
• 이론은 최소 막 작용을 통한 엽합성 동역학 이해의 프레임워크를 제공하며, 𝒟(𝐯)는 시스템 특화된 동역학과 일반적인 제약 조건을 코딩한다.