[논문 리뷰] Cobordisms of fold maps and maps with prescribed number of cusps

Tobias Ekholm, András Szücs외 1명|ArXiv.org|2007. 01. 16.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 2k-차원 다양체에서 (3k−1)-차원 공간으로의 안정적 매핑에서 발생할 수 있는 쿠스의 수를 결정하고, (3k−2)-차원 목표 다양체로의 '접선 매핑'(fold maps—단지 접선 특이점만을 가진 매핑)의 코버디즘 군을 계산한다. 이는 (4m+1)-차원 유향 다양체가 (6m+1)-차원 다양체로 매핑될 경우 접선 코버디즘 군이 유향 경계 군과 동형임을 보이며, (4m−1)-차원의 경우는 유향 경계 군에 Z_{3^t} 인자에 의한 몫을 취한 것과 동형임을 밝힌다. 여기서 t는 2m+j의 삼진수 자릿수 합에 따라 결정된다.

ABSTRACT

A generic smooth map of a closed $2k$-manifold into $(3k-1)$-space has a finite number of cusps ($Σ^{1,1}$-singularities). We determine the possible numbers of cusps of such maps. A fold map is a map with singular set consisting of only fold singularities ($Σ^{1,0}$-singularities). Two fold maps are fold bordant if there are cobordisms between their source- and target manifolds with a fold map extending the two maps between the boundaries, if the two targets agree and the target cobordism can be taken as a product with a unit interval then the maps are fold cobordant. We compute the cobordism groups of fold maps of $(2k-1)$-manifolds into $(3k-2)$-space. Analogous cobordism semi-groups for arbitrary closed $(3k-2)$-dimensional target manifolds are endowed with Abelian group structures and described. Fold bordism groups in the same dimensions are described as well.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 2k-다양체에서 (3k−1)-차원 공간으로의 안정적 매핑에서 발생할 수 있는 쿠스의 수를 결정하는 것.
• 접선 매핑의 (2k−1)-다양체에서 (3k−2)-차원 공간으로의 코버디즘 군을 계산하는 것.
• 일반적인 닫힌 (3k−2)-차원 다양체로의 접선 매핑의 코버디즘 준군의 구조를 기술하고, 특히 아벨 군의 구조를 분석하는 것.
• 최상위 정규 프로트리아진 클래스와 삼진수 자릿수 합이 유향 접선 매핑의 코버디즘 군에서 토르션을 결정하는 데 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 제트 전이성 정리를 사용하여 특이성의 차원을 구한다: 접선 특이점은 차원이 k+1이고, 쿠스는 차원이 2(k+1)이다.
• 일반성과 코버디즘 이론을 적용하여, 2k+1 > n 일 때 접선 코버디즘 군류가 소스 다양체에 의해 결정됨을 보이고, 등식이 성립할 경우 군을 계산한다.
• 접선 코버디즘 군에서 유향 경계 군으로의 忘却 사상(forgetful morphism)을 도입하고, 이것이 동형인지 또는 토르션 확장인지 분석한다.
• 코버디즘에서 쿠스의 모듈로 2 수를 세는 불변량을 도입하여 Z_2 토르션을 탐지하고, 정수의 삼진수 자릿수 합을 이용해 이를 Z_{3^t} 토르션으로 일반화한다.
• 유니버설 계수 정리와 피앙코레 이론을 사용하여 목표 다양체의 호몰로지 조건을 Z_2로의 호모모르피즘의 소멸 조건과 연결함으로써 쿠스의 기수를 제어한다.
• Ext 및 Hom 함자를 포함한 대수적 토폴로지 도구를 적용하여, 준군의 정확한 수열이 코버디즘 준군에 군의 구조를 암시함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 2k-다양체에서 (3k−1)-차원 공간으로의 안정적 매핑에서 발생할 수 있는 쿠스의 가능한 수는 무엇인가요?
• RQ2 접선 매핑의 코버디즘 군에서 유향 경계 군으로의 忘却 사상이 언제 동형이 되는가요?
• RQ3 일반적인 (3k−2)-차원 다양체로의 접선 매핑의 코버디즘 준군의 구조는 무엇인가요?
• RQ4 부호를 고려한 대수적 쿠스 수가 (4m−1)-다양체의 접선 매핑 코버디즘 군의 토르션을 어떻게 결정하는가요?
• RQ5 목표 다양체 P에 어떤 위상적 조건이 성립할 경우 접선 매핑의 코버디즘 군이 경계 군과 Z_{3^t} 인자의 직합으로 분해되는가요?

주요 결과

• 모든 k ≥ 0에 대해, R^{3k−1} 으로의 (2k+1)-다양체의 접선 매핑 코버디즘 군은 무향 경계 군 N_{2k+1} 과 동형이다.
• 유향 접선 코버디즘 군 Σ^1,0_so(1,0) 는 Z_2 와 동형이다.
• m ≥ 2 일 때, 유향 접선 코버디즘 군 Σ^1,0_so(4m+1,2m) 는 유향 경계 군 Ω_{4m+1} 과 동형이다.
• m ≥ 1 일 때, 유향 접선 코버디즘 군 Σ^1,0_so(4m−1,2m−1) 는 Ω_{4m−1} ⊕ Z_{3^t} 와 동형이며, 여기서 t = min{j | α_3(2m+j) ≤ 3j} 이고 α_3(x) 는 x의 삼진수 표현에서 자릿수의 합이다.
• H_1(P;Z_2)와 H_2(P;Z_2) 가 모두 자명한 7차원 유향 다양체 P에 대해, 코버디즘 군 Σ^1,0_so(5,P) 는 정확한 수열 0 → Z_2 → Σ^1,0_so(5,P) → Ω_5(P) → 0 에 포함된다.
• 6m−2차원 유향 다양체 P에 대해, 코버디즘 군 Σ^1,0_so(4m−1,P) 는 정확한 수열 0 → Z_{3^v} → Σ^1,0_so(4m−1,P) → Ω_{4m−1}(P) → 0 에 포함되며, 여기서 v ≤ t 이고 t 는 위와 같다.