[논문 리뷰] Cobordisms of sutured manifolds

András Juhász|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 삼판면의 코버디즘의 새로운 개념을 도입하고, 이러한 코버디즘이 삼판면 플로어 호모로지에 사상들을 유도함을 증명한다. 이는 닫힌 3차원 다면체의 코버디즘 사상과 접촉 붙임 사상을 통합한다. 이 구성은 삼판면 플로어 호모로지를 TQFT 유사 이론으로서 정립하며, 링크 플로어 호모로지가 다변수 아크실러 플로어 다항식을 분류함을 증명한다.

ABSTRACT

It has been a central open problem in Heegaard Floer theory whether cobordisms of links induce homomorphisms on the associated link Floer homology groups. We provide an affirmative answer by introducing a natural notion of cobordism between sutured manifolds, and showing that such a cobordism induces a map on sutured Floer homology. This map is a common generalization of the hat version of the closed 3-manifold cobordism map in Heegaard Floer theory, and the contact gluing map defined by Honda, Kazez, and Matic. We show that sutured Floer homology, together with the above cobordism maps, forms a type of TQFT in the sense of Atiyah. Applied to the sutured manifold cobordism complementary to a decorated link cobordism, our theory gives rise to the desired map on link Floer homology. Hence, link Floer homology is a categorification of the multi-variable Alexander polynomial. We outline an alternative definition of the contact gluing map using only the contact element and handle maps. Finally, we show that a Weinstein sutured manifold cobordism preserves the contact element.

연구 동기 및 목표

• 링크의 코버디즘으로부터 링크 플로어 호모로지에 호모모르피즘이 유도되는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 3차원 다면체의 코버디즘과 접촉 붙임을 모두 일반화하는 삼판면 다면체 간의 자연스러운 코버디즘의 개념을 정의하기 위해.
• 이러한 코버디즘 사상과 함께 삼판면 플로어 호모로지가 아티야 스타일의 TQFT 공리 체계를 만족하는지 보여주기 위해.
• 장식된 링크 코버디즘의 보완 코버디즘으로부터 링크 플로어 호모로지에 원하는 사상이 유도되는지 보여주기 위해.
• 보조 자료 없이 접촉 붙임 사상을 접촉 원소와 핸들 사상만을 사용하여 재정의하기 위해.

제안 방법

• 삼판면 다면체 간의 코버디즘에 대한 새로운 정의를 도입하여, 삼판면의 구조와 경계 조건을 유지한다.
• 헤가르 플로어 이론에서 유래한 해석 기하 곡선 기법을 사용하여, 이러한 코버디즘 각각에 대해 삼판면 플로어 호모로지에 대한 함자적 사상을 구성한다.
• 코버디즘 사상이 헤가르 플로어 이론에서 닫힌 3차원 다면체의 코버디즘 사상의 하트(_hat) 형태로 축소됨을 보여준다.
• 코버디즘 사상이 훈드, 카제즈, 매틱의 접촉 붙임 사상을 접촉 원소와 핸들 부착 사상들을 통해 복원함을 증명한다.
• 함자성과 합성 법칙을 확립하여, 이러한 코버디즘 하에서 삼판면 플로어 호모로지가 TQFT 유사 구조를 만족함을 검증한다.
• 웨인슈타인 코버디즘을 사용하여, 웨인슈타인 유형의 삼판면 다면체 코버디즘에서 접촉 원소가 보존됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼판면 다면체 간에 잘 정의된 코버디즘 관계를 정의할 수 있는가? 이 관계가 삼판면 플로어 호모로지에 사상을 유도하는가?
• RQ2 이러한 코버디즘 사상은 헤가르 플로어 이론에서 닫힌 3차원 다면체의 코버디즘 사상과 접촉 붙임 사상을 모두 일반화하는가?
• RQ3 이러한 코버디즘 사상과 함께 삼판면 플로어 호모로지를 아티야의 의미에서 TQFT로 볼 수 있는가?
• RQ4 장식된 링크 코버디즘의 보완 코버디즘이 링크 플로어 호모로지에 잘 정의된 사상을 유도하는가?
• RQ5 보조 자료 없이 접촉 붙임 사상을 접촉 원소와 핸들 사상만을 사용하여 재정의할 수 있는가?

주요 결과

• 삼판면 다면체 간에 자연스러운 코버디즘의 개념이 정의되었으며, 각 코버디즘은 삼판면 플로어 호모로지에 잘 정의된 사상을 유도한다.
• 유도된 코버디즘 사상은 헤가르 플로어 이론에서 닫힌 3차원 다면체의 코버디즘 사상의 하트 형태와 훈드, 카제즈, 매틱의 접촉 붙임 사상을 모두 일반화한다.
• 이러한 코버디즘 사상과 함께 삼판면 플로어 호모로지는 아티야의 의미에서 TQFT 공리 체계를 만족한다. 이는 함자성과 합성 법칙을 포함한다.
• 장식된 링크 코버디즘의 보완 코버디즘에 이 те오리가 적용되면 링크 플로어 호모로지에 원하는 호모모르피즘이 얻어지며, 링크 플로어 호모로지가 다변수 아크실러 플로어 다항식을 분류함을 확인한다.
• 접촉 붙임 사상의 대체 정의가 제공되며, 추가적인 구조 없이 오직 접촉 원소와 핸들 사상에 의존한다.
• 웨인슈타인 삼판면 다면체 코버디즘은 삼판면 플로어 호모로지에서 접촉 원소를 보존하며, 기하학적 일致성 조건을 확립한다.