[논문 리뷰] Cobordisms with chronologies and a generalisation of the Khovanov complex

Krzysztof K. Putyra|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 구간 위로의 사영인 모어스 함수로 구성된 크로노로지가 부여된 새로운 종류의 코버디즘을 도입하여, 짝수 및 홀수 카호바노프 링크 호몰로지 이론을 통합하는 프레임워크를 제공한다. 이 카테고리에서 탄성 불변 복합체를 구성하고, 함자들을 적용함으로써 저자들은 두 호몰로지 이론을 모두 회복하며, 기존의 코버디즘 기반 형식론에서 홀수 카호바노프 호몰로지의 결여된 부분을 메운다.

ABSTRACT

There are two categorifications of the Jones polynomial: "even" discovered by M.Khovanov in 1999 and "odd" dicovered by P.Ozsvath, J.Rasmussen and Z.Szabo in 2007. The first one can be fully constructed in the category of cobordisms (strictly: in the additive closure of that category), where we can build a complex for a given tangle and show its invariance under Reidemeister moves. The even link homology is given by a monoidal functor from cobordisms into modules. However, odd link homology cannot be obtained in this way. In this paper I fill this gap. I enrich cobordisms with chronologies (projections onto intervals which are Morse separable functions) and show that they form a category. Given a tangle diagram I take the cube of its resolutions and build a complex in this new category. I show this complex is a tangle invariant and applying appropriate functors I can recover both even and odd link homology theories.

연구 동기 및 목표

• 표준 코버디즘에서 단순한 모노이드 함자로는 구할 수 없기 때문에, 홀수 카호바노프 호몰로지에 대한 코버디즘 기반의 구성이 부족한 문제를 해결한다.
• 코버디즘의 카테고리를 크로노로지 구조를 포함시켜 확장함으로써, 모어스 함수가 탄성 해석과 호환되도록 보장한다.
• 탄성 다이어그램의 해석의 큐브를 바탕으로 이 새로운 카테고리에서 복합체를 구성하고, 리드마이스터 이동에 대한 불변성을 증명한다.
• 이 복합체에 적절한 함자를 적용함으로써 짝수 및 홀수 링크 호몰로지 이론을 모두 회복함을 보인다.
• 기존의 카호바노프 유형 호몰로지 이론들을 하나의 기하적 구성에 통합하는 카테고리적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 코버디즘의 카테고리를 크로노로지로 풍부화시키며, 이는 구간 위로의 사영이자 모어스 분리 가능한 모어스 함수이다.
• 모르스 함수가 탄성 해석과 호환되도록 보장하는 크로노로지가 부여된 코버디즘의 새로운 카테고리를 정의한다.
• 탄성 다이어그램의 해석의 큐브를 크로노로지가 부여된 코버디즘의 카테고리로 올린다.
• 해석 데이터와 크로노로지 데이터를 사용하여 미분을 정의함으로써, 이 풍부화된 카테고리 안에서 복합체를 구성한다.
• 크로노로지 구조가 호모토피 동치를 유지하므로, 리드마이스터 이동에 대한 복합체의 불변성을 증명한다.
• 이 복합체에 모노이드 함자를 적용하여 짝수 및 홀수 카호바노프 링크 호몰로지 이론을 모두 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 카호바노프 호몰로지가 짝수 경우와 유사한 코버디즘 형식론을 통해 카테고리적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 코버디즘에 크로노로지 구조를 어떻게 통합할 수 있으며, 리드마이스터 이동에 대한 불변성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 짝수 및 홀수 카호바노프 호몰로지 이론을 모두 수용하는 통합된 카테고리적 프레임워크가 존재하는가?
• RQ4 모어스 함수(크로노로지)는 서로 다른 링크 호몰로지 이론을 구별하거나 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 크로노로지 데이터로 풍부화된 카테고리에서 탄성 불변 복합체를 구성할 수 있으며, 이는 함자적일 수 있는가?

주요 결과

• 크로노로지가 부여된 코버디즘의 카테고리는 잘 정의되어 있으며, 합성에 대해 닫혀 있어 위상수학적 구성에 유효한 카테고리이다.
• 크로노로지가 부여된 코버디즘의 카테고리에서 해석의 큐브로부터 구성된 복합체는 모든 리드마이스터 이동에 대해 불변이며, 따라서 탄성 불변임을 증명한다.
• 표준 함자를 이 복합체에 적용하면 짝수 카호바노프 호몰로지가 얻어지고, 수정된 함자를 적용하면 홀수 카호바노프 호몰로지가 회복된다.
• 이 구성은 이전에 그러한 형식화가 없었던 홀수 카호바노프 호몰로지에 대해 기하학적이고 카테고리적 기반을 제공한다.
• 크로노로지의 포함은 짝수 및 홀수 호몰로지 이론을 통합하는 일관되고 체계적인 카호바노프 복합체의 일반화를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 짝수 및 홀수 호몰로지 이론이 모두 하나의 불변 복합체의 이미지로서 서로 다른 함자에 의해 유도된다는 것을 보여준다.