[논문 리뷰] Coboundary and Cosystolic Expansion Without Dependence on Dimension or Degree

Yotam Dikstein, Irit Dinur|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 04.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고차원 확산체, 특히 동차 기하 레이팅의 순서 복합체 및 LSV/KO 복합체를 포함하여 차원 및 차수에 의존하지 않는 코시스틸릭 및 코바운더리 확산 상한을 수립한다. 새로운 색상 제약 기법과 국소-전역 정리의 스펙트럼적 증명을 도입함으로써, 환경 차원, 차수 및 계수 군에 관계없이 절대적인 확산 상수를 확보하여 위상적 오버랩과 커버 안정성에 대한 더 강력한 상한을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We give new bounds on the cosystolic expansion constants of several families of high dimensional expanders, and the known coboundary expansion constants of order complexes of homogeneous geometric lattices, including the spherical building of $SL_n(F_q)$. The improvement applies to the high dimensional expanders constructed by Lubotzky, Samuels and Vishne, and by Kaufman and Oppenheim. Our new expansion constants do not depend on the degree of the complex nor on its dimension, nor on the group of coefficients. This implies improved bounds on Gromov's topological overlap constant, and on Dinur and Meshulam's cover stability, which may have applications for agreement testing. In comparison, existing bounds decay exponentially with the ambient dimension (for spherical buildings) and in addition decay linearly with the degree (for all known bounded-degree high dimensional expanders). Our results are based on several new techniques: * We develop a new "color-restriction" technique which enables proving dimension-free expansion by restricting a multi-partite complex to small random subsets of its color classes. * We give a new "spectral" proof for Evra and Kaufman's local-to-global theorem, deriving better bounds and getting rid of the dependence on the degree. This theorem bounds the cosystolic expansion of a complex using coboundary expansion and spectral expansion of the links. * We derive absolute bounds on the coboundary expansion of the spherical building (and any order complex of a homogeneous geometric lattice) by constructing a novel family of very short cones.

연구 동기 및 목표

• 고차원 확산체의 코시스틸릭 및 코바운더리 확산 상수에서 차원과 차수에 대한 의존성을 제거하기 위해.
• 차원에 자유로운 확산을 이용해 그로모프의 위상적 오버랩 상수와 딘르-메슈룰람의 커버 안정성에 대한 상한을 향상시키기 위해.
• 환경 차원, 차수 및 계수 군에 관계없이 절대적인 확산 상한을 도출할 수 있는 기법을 개발하기 위해.
• 기존의 유계 차수 고차원 확산체(예: LSV 및 KO 복합체)가 향상된 확산 및 안정성 보장을 갖는다는 것을 입증하기 위해.
• 구형 빌딩 및 기타 동차 레이팅의 순서 복합체가 새로운 짧은 콘을 통해 절대적인 코바운더리 확산 상한을 갖는다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다중 분할 복합체를 색 클래스의 랜덤 부분집합으로 제한함으로써 차원에 자유로운 확산을 증명하는 새로운 '색상 제약' 기법을 도입한다.
• 에브라와 커프만의 국소-전역 정리에 대한 새로운 스펙트럼적 증명을 제공하여 차수 의존성을 제거하고 상한을 향상시킨다.
• 순서 복합체의 동차 기하 레이팅에 대한 코바운더리 확산 상한에 절대적인 상한을 도출하기 위해 새로운 가족의 매우 짧은 콘을 구성한다.
• 향상된 확산 상한을 적용하여 그로모프의 위상적 오버랩 상수와 커버 안정성에 대한 더 날카운 상한을 유도한다.
• 국소-전역 정리를 이용하여 링크의 국소 스펙트럼 확산과 글로벌 코시스틸릭 확산 간의 관계를 분석하고, 개선된 정량적 의존성을 확보한다.
• 기하 레이팅의 순서 복합체의 구조를 활용하여 명시적 체인을 구성하고, 코바운더리 사상 하에서의 최소 무게를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 복합체의 코시스틸릭 확산 상수는 그 차원과 차수에 관계없이 유계로 간주될 수 있는가?
• RQ2 코시스틸릭 확산에 대한 국소-전역 정리가 차수와 차원에 대해 개선된 의존성으로 재증명될 수 있는가?
• RQ3 예를 들어 SLn(Fq)의 구형 빌딩과 같은 동차 기하 레이팅의 순서 복합체는 절대적인 코바운더리 확산 상한을 갖는가?
• RQ4 향상된 코시스틸릭 확산 상한은 위상적 오버랩과 커버 안정성에 대해 더 강력한 보장을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ5 어떤 복합체의 구조적 성질이 절대적인 확산 상한을 도출하는 짧은 콘을 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 LSV 및 KO 복합체에 대한 코시스틸릭 확산 상수 $ h_k(X, \bbF_2) $ 가 $ \exp(-O(k^6 \log k)) $ 이하로 유계임을 입증하며, 이는 차원과 차수에 관계없이 성립한다.
• SLn(Fq)의 구형 빌딩에 대해서는 새로운 가족의 짧은 콘을 통해 절대적인 코바운더리 확산 상한을 도출하였으며, 이는 차원과 계수 군에 관계없이 성립한다.
• LSV 복합체의 위상적 오버랩 상수는 $ c = \exp(-O(k^7 \log k)) - \varepsilon \cdot \exp(O(k^7 \log k)) $ 로 향상되었으며, 여기서 $ \varepsilon = 1/|X_n(0)| $ 이며, 이는 차수와 차원에 관계없이 성립한다.
• KO 복합체의 2-스켈레톤은 $ \Omega(1) $-위상적 오버랩을 갖는다는 것이 입증되었으며, 이는 이전의 차수 의존적 상한에 비해 상당한 향상이다.
• LSV 및 KO 복합체의 커버 안정성은 절대 상수 $ c > 0 $ 이하로 유계임을 증명하였으며, 이는 군과 집합 크기에 관계없이 성립한다.
• 저자는 차수에 의존하지 않는 스펙트럼적 증명을 통해 국소-전역 정리를 확보하였으며, 이는 이전의 상한을 향상시키고 고차원 확산 이론에서 핵심적인 장벽을 제거한다.