[논문 리뷰] Cocycle and orbit superrigidity for lattices in SL(n,R) acting on homogeneous spaces

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 비가역적 작용에 대한 Zimmer의 성질 (T)과 연산자 대수 기법을 사용하여, $\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$의 격자들이 $\mathbb{R}^n$과 특정 플래그 다양체 위에 작용할 때 코클로스 및 오비트 등가성 초강정성을 확립한다. 주요 결과는 $n \geq 4$일 때, $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$의 유한 르베그 측도 집합으로의 제한은 성질 (T)과 기본군 $\mathbb{R}_+$를 갖는 II$_1$ 등가관계이며, 어떤 확대 $\mathcal{R}^t$도 이산군의 자유 작용에 의해 실현될 수 없다.

ABSTRACT

We prove cocycle and orbit equivalence superrigidity for lattices in SL(n,R) acting linearly on R^n, as well as acting projectively on certain flag manifolds, including the real projective space. The proof combines operator algebraic techniques with the property (T) in the sense of Zimmer for the action of SL(n,Z) on R^n, n \geq 4. We also show that the restriction of the associated orbit equivalence relation to a subset of finite Lebesgue measure, provides a II_1 equivalence relation with property (T) and yet fundamental group equal to R_+.

연구 동기 및 목표

• 격자들이 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 위에 작용하는 기하학적 작용에 대해 연산자 대수 기법을 확장한다.
• $n \geq 5$일 때, $\Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$에 대한 선형 및 애파인 작용에 대해 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성을 확립한다.
• 오비트 등가관계 $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$의 제한이 유한 측도 집합에서 II$_1$ 등가관계로 이어지며, 기본군 $\mathbb{R}_+$와 성질 (T)을 갖는다.
• 이러한 등가관계의 어떤 확대 $\mathcal{R}^t$도 이산군의 자유 작용에 의해 실현될 수 없음을 보인다.

제안 방법

• Zimmer의 비확률적 작용에 대한 성질 (T)을 활용하여 Popa의 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성 프레임워크를 무한 측도 공간에 적응한다.
• 특히 $n \geq 4$일 때 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$가 성질 (T)을 가지며, $n \geq 5$일 때 4중 대각선 작용이 더 강한 혼합성을 가짐을 이용한다.
• $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$의 가측성 단면을 구성하여 II$_1$ 등가관계를 도출한다.
• 가우시안 과정 구성과 $G$-불변의 가측 함수를 적용하여 오비트 등가관계 간의 가측 함수의 강정성을 증명한다.
• 가정된 성질 (T) 및 혼합성 조건 하에서, 유한 유형의 폴란드 군 값을 갖는 1-코클로스는 항상 군 준동형으로 코homologous가 됨을 이용한다.
• 연결된 군(예: $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$)에서 이산군으로의 비자명한 군 준동형이 존재하지 않음을 활용하여 관련 함수의 상수성을 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성이 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 격자의 비확률 측도 보존 작용으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ2 $\Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$에 대해 오비트 등가관계 $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$의 유한 측도 부분집합으로의 제한의 기본군은 무엇인가?
• RQ3 이러한 제한의 어떤 확대 $\mathcal{R}^t$도 이산군의 자유 작용에 의해 실현될 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$의 오비트 등가관계는 본질적으로 상수 함수가 아닌 다른 작용으로의 가측 함수를 갖는가?
• RQ5 가측 함수 $\Delta: X_1 \to Y$가 $\mathcal{R}$에 거의 모든 곳에서 $\Delta(x) \in \Lambda \cdot \Delta(y)$를 만족할 때, 어떤 조건이 이 함수가 단일 $\Lambda$-오비트를 통해 인수분해되도록 보장하는가?

주요 결과

• $n \geq 4$일 때, $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$의 르베그 측도 1인 집합으로의 제한은 Zimmer의 의미에서 성질 (T)를 갖는 II$_1$ 등가관계이다.
• 이 II$_1$ 등가관계의 기본군은 $\mathbb{R}_+$이며, 이는 어떤 가산군의 오비트 등가관계와도 동형이 아님을 보여준다.
• $n \geq 5$일 때, 선형 작용 $\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n$은 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성을 갖는다. 즉, 모든 1-코클로스는 군 준동형과 코homologous이다.
• $n \geq 5$일 때, 애파인 작용 $\Gamma \ltimes \mathbb{Z}^n \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 역시 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성을 갖는다.
• $n \geq 4k+1$일 때, $G = (\Gamma \times H)/\{\pm(1,1)\}$의 $\mathrm{M}_{n,k}(\mathbb{R})$ 위 작용은 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-코클로스 초강정성을 갖는다.
• 제한된 오비트 등가관계의 어떤 확대 $\mathcal{R}^t$도 이산군의 자유 작용에 의해 실현될 수 없으며, 심지어 그 군이 성질 (T)를 갖더라도 마찬가지이다.