[논문 리뷰] Codensity and the ultrafilter monad

Tom Leinster|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 17.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 33인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 유한 집합의 포함 사상에서 모든 집합으로의 사상에 대해 초필터 모나드가 자연스럽게 코밀도시티 모나드로 나타남을 보이며, 유한성과 컴 pactness 사이의 깊은 범주론적 이중성(duaity)을 드러낸다. 또한 유한 차원 벡터공간의 코밀도시티 모나드는 이중 이중화(dualization)임을 보이며, 컴 pact 하우스도르프 공간의 선형적 동반체로 작용하는 선형적으로 컴 pact한 벡터공간을 이끌어내고, 초곱이 범주론적으로 필수적인 존재임을 보여주는 바, 즉 유한 가족의 포함 사상에서의 코밀도시티 모나드임을 증명한다.

ABSTRACT

Even a functor without an adjoint induces a monad, namely, its codensity monad; this is subject only to the existence of certain limits. We clarify the sense in which codensity monads act as substitutes for monads induced by adjunctions. We also expand on an undeservedly ignored theorem of Kennison and Gildenhuys: that the codensity monad of the inclusion of (finite sets) into (sets) is the ultrafilter monad. This result is analogous to the correspondence between measures and integrals. So, for example, we can speak of integration against an ultrafilter. Using this language, we show that the codensity monad of the inclusion of (finite-dimensional vector spaces) into (vector spaces) is double dualization. From this it follows that compact Hausdorff spaces have a linear analogue: linearly compact vector spaces. Finally, we show that ultraproducts are categorically inevitable: the codensity monad of the inclusion of (finite families of sets) into (families of sets) is the ultraproduct monad.

연구 동기 및 목표

• 이류가 존재하지 않을 경우, 코밀도시티 모나드가 어떻게 인접한 유도된 모나드의 대체로 기능하는지 명확히 하기.
• 유한 집합의 포함 사상 FinSet ↪ Set에 대해 코밀도시티 모나드가 초필터 모나드임을 재정립하고 일반화하는 것 — 이는 덜 알려진 결과이지만 중요하다.
• 유한 차원 벡터공간의 포함 사상에 대해 코밀도시티 모나드가 이중 이중화임을 보이며, 컴 pact 하우스도르프 공간의 선형적 동반체를 이끌어내기.
• 초곱이 유한 가족의 포함 사상에서의 코밀도시티 모나드로서 자연스럽게 유도됨을 보이며, 이는 초곱이 범주론적으로 필수적임을 시사한다.
• 범주론적 이중성의 관점에서 논리학, 위상수학, 함수해석학에서 알려진 구조들과 이들 구성요소를 연결하기.

제안 방법

• 자기 자신에 대해 오른쪽 칸 확장(right Kan extension)으로 정의된 코밀도시티 모나드 구축 방법을 사용한다.
• 초필터를 유한 교차에 대해 닫혀 있고, 분할 조건을 만족하는 부분집합의 가족으로 특성화한다: 임의의 유한 분할에서 정확히 한 부분만 초필터에 속한다.
• 집합 X 위의 통합 연산자(integration operators)와 X 위의 초필터 사이의 일대일 대응을 수립하며, 이를 측도에 대한 통합 개념의 일반화로 확장한다.
• 유한 차원 벡터공간의 포함 사상에 대해 코밀도시티 모나드를 적용하여, 이중 이중화 모나드가 얻어짐을 보인다.
• 유한 가족의 집합에서 모든 가족의 집합으로의 포함 사상에 대해 코밀도시티 모나드가 초곱 모나드와 동형임을 증명한다.
• 칸 확장의 보편 성질과 필터링된 합성(colimits)의 구조를 이용하여, 𝒞가 소형 합성(colimits)과 필터링된 합성을 갖는다면, FinFam(𝒞) → Fam(𝒞)의 코밀도시티 모나드가 초곱 모나드임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이류가 존재하지 않을 경우 코밀도시티 모나드는 어떻게 인접한 모나드의 대체로 기능할 수 있는가?
• RQ2 왜 포함 사상 FinSet ↪ Set에 대해 코밀도시티 모나드가 초필터 모나드와 동형이며, 이는 초필터의 범주론적 기원에 대해 무엇을 시사하는가?
• RQ3 벡터공간의 맥락에서 컴 pact 하우스도르프 공간의 범주론적 이중체는 무엇이며, 어떻게 코밀도시티 모나드를 통해 유도되는가?
• RQ4 초곱은 범주론적으로 필수적인가? 그리고 유한 가족의 포함 사상에서 코밀도시티 모나드로 유도될 수 있는가?
• RQ5 유한 가족의 코밀도시티 모나드의 대수와 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 층 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유한 집합의 포함 사상에서 모든 집합으로의 사상에 대해 코밀도시티 모나드는 초필터 모나드와 동형이며, 이는 초필터의 범주론적 기초를 제공한다.
• 유한 차원 벡터공간의 포함 사상에서 모든 벡터공간으로의 사상에 대해 코밀도시티 모나드는 이중 이중화 모나드이며, 이는 컴 pact 하우스도르프 공간의 선형적 동반체인 선형적으로 컴 pact한 벡터공간을 이끌어낸다.
• 유한 가족의 집합에서 모든 가족의 집합으로의 포함 사상에 대해 코밀도시티 모나드는 초곱 모나드와 동형이며, 이는 초곱이 범주론적으로 필수적임을 보여준다.
• 유한 가족의 집합에 대한 코밀도시티 모나드의 대수의 범주와 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 층의 범주 사이에 동치관계가 존재하며, 이는 초곱과 층 이론 사이의 깊은 연결고리를 확립한다.
• 코밀도시티 모나드 구축은 통합 연산자에 대한 보편 성질을 통해 초필터 모나드를 복원하며, 이를 측도와 적분의 대응관계의 일반화로 확장한다.
• 이 결과는 유한성에 의존하는 대수적 이론의 대수 범주로 확장되며, 이 경우 유한 가족의 코밀도시티 모나드는 초곱 구성으로 이어지며, 이는 모형 이론에서 Łoś의 정리에 잠재적인 영향을 미칠 수 있다.