[논문 리뷰] Codimension one subgroups and boundaries of hyperbolic groups

Thomas Delzant, Panos Papasoglu|ArXiv.org|2008. 07. 18.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 차원이 임의로 높은 쌍곡군을 구성하며, 그 경계는 칸토어 집합(차원 0)에 의해 분리되어 있지만, 어떤 부분군에 대해서도 분할되지 않는다는 것을 보여준다. 이는 2-ended 부분군에 대한 Bowditch의 정리가 더 복잡한 부분군으로 일반화될 수 없다는 것을 보여준다. 구성은 자유곱 위에서의 소작소취리 이론을 사용하며, 성질 (T)와 높은 경계 차원을 가진 토르션 프리 쌍곡군을 특정 관계를 통해 새로운 군에 매립함으로써 이루어지며, 이로 인해 코차원 1 부분군은 존재하지만 비자명한 분할은 일어나지 않는다.

ABSTRACT

We construct hyperbolic groups with the following properties: The boundary of the group has big dimension, it is separated by a Cantor set and the group does not split. This shows that Bowditch's theorem that characterizes splittings of hyperbolic groups over 2-ended groups in terms of the boundary can not be extended to splittings over more complicated subgroups.

연구 동기 및 목표

• Bowditch의 2-ended 부분군에 대한 분할 정리가 더 복잡한 부분군으로 일반화될 수 있는지에 대한 도전.
• 경계의 위상 차원이 임의로 높은 쌍곡군을 구성하는 것.
• 그러한 군이 칸토어 집합(차원 0)에 의해 분리되어 있지만, 어떤 부분군에 대해서도 분할되지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 쌍곡군에서 코차원 1 부분군이 존재한다고 해서 비자명한 분할이 발생하지는 않는다는 것을 보여주는 것. 이는 2-ended의 경우를 초월하여 성립한다.
• [10]에서 제기한 질문에 답하는 것: 분할이 일어나지 않는 군에서 군의 거칠은 분리와 비율 차원의 관계에 대해

제안 방법

• 성질 (T)를 가지며, dim(∂A) ≥ n인 토르션 프리, 1-ended 쌍곡군 A를 취한다. 예를 들어 Sp(n,1)에서의 격자.
• A의 두 번째 복제본 B를 취하고, 자유곱 A*B를 구성한다.
• 모든 i,j에 대해 r_{i,j} = (a_i b_j)(a_i b_j^2)(a_i b_j^3)(a_i b_j^4)의 소작소취리 관계를 적용하여 몫 군 G를 정의한다.
• Wise의 자유곱 위에서의 소작소취리의 일반화된 버전을 사용하여, 결과 군 G가 자유 코차원 1 부분군 H를 가짐을 증명한다.
• 자유곱 위에서의 van-Kampen 다이어그램을 사용하고, 조합론적 보조정리(예: Greendlinger 유형 부등식)를 적용하여 면적 성장과 선형 등면적 부등식을 제어한다.
• 다이어그램 면적의 상한과 정점 차수 추정을 사용하여, G가 선형 등면적 부등식을 만족함을 보여, G의 쌍곡성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍곡군이 고차원 경계를 가지며, 그 경계가 칸토어 집합(0차원 집합)에 의해 거칠게 분리되어도 분할되지 않을 수 있는가?
• RQ2 코차원 1 부분군의 존재가 2-ended의 경우를 초월하여 쌍곡군에서 비자명한 분할을 암시하는가?
• RQ3 Bowditch의 경계 기반 분할 정리는 2-ended 부분군을 초월하여 더 복잡한 부분군에 대한 분할로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 임의로 높은 경계 차원을 가진 쌍곡군을 구성할 수 있으며, 그 군이 여전히 성질 FA(비자명한 분할이 없는 성질)를 가지는가?
• RQ5 군이 비자명한 부분군에 대해 분할되지 않지만, 비율 차원 1인 균일하게 매립된 부분집합에 의해 거칠게 분리될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 n > 0에 대해, dim(∂G) ≥ n인 1-ended 쌍곡군 G가 존재한다.
• 경계 ∂G는 칸토어 집합(0차원 집합)에 의해 분리되어 있으며, 이는 비자명한 위상적 분리임을 나타낸다.
• 코차원 1 부분군과 경계에서의 칸토어 집합에 의한 분리가 존재하지만, G는 성질 FA를 가지며 어떤 부분군에 대해서도 분할되지 않는다.
• 군 G는 A와 B가 토르션 프리 쌍곡군이며, 성질 (T)를 가지며, dim(∂A) ≥ n인 자유곱 A*B의 소작소취리 몫으로 구성된다.
• G가 선형 등면적 부등식을 만족함을 보장함으로써, G의 쌍곡성을 확인한다.
• 이 예는 [10]에서 제기한 질문에 답하며, asdim G > n인 유한적으로 표현된 군이 존재하며, 이는 asdim 1인 균일하게 매립된 집합에 의해 거칠게 분리되고, 비자명한 분할이 없는 군임을 보여준다.