[논문 리뷰] Coefficient Conditions for Harmonic Univalent Mappings and Hypergeometric Mappings

S. V. Bharanedhar, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 05.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가우스 수반 hypergeometric 함수를 사용하여 명시적인 예를 구성함으로써 조화 단일사상이 가까이 볼록하고 완전히 항성적임을 보장하는 계수 조건을 수립한다. 테일러 계수의 l1-노름 추정을 통해 충분 조건을 제시하여, 가까이 볼록하고 항성적인 조화 다항식의 새로운 클래스를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain coefficient criteria for a normalized harmonic function defined in the unit disk to be close-to-convex and fully starlike, respectively. Using these coefficient conditions, we present different classes of harmonic close-to-convex (resp. fully starlike) functions involving Gaussian hypergeometric functions. In addition, we present a convolution characterization for a class of univalent harmonic functions discussed recently by Mocanu, and later by Bshouty and Lyzzaik in 2010. Our approach provide examples of harmonic polynomials that are close-to-convex and starlike, respectively.

연구 동기 및 목표

• 단위 원판 내 정규화된 조화 함수가 가까이 볼록하거나 완전히 항성적임을 보장하는 계수 기준을 유도하기 위해.
• 기존의 해석적 계수 조건(예: 항성성에 대한 것들)을 해석적 설정에서 조화 설정으로 확장하기 위해.
• 가우스 수반 hypergeometric 함수를 사용하여 가까이 볼록하거나 완전히 항성적인 명시적 가족의 조화 다항식을 구성하기 위해.
• 최근 모카누와 바슈투-리즈자익에 의해 연구된 단일사상 조화 클래스에 대한 콘볼루션 특성화를 제공하기 위해.
• 일부 hypergeometric 적분을 통해 정의된 조화 사상이 $\mathcal{C}_H^1$ 및 $\mathcal{S}_H^{*0}$에 속함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 해석적 부분과 코해석적 부분의 테일러 계수의 $\ell^1$-노름을 사용하여 충분한 계수 조건을 도출하기 위해.
• 레마 A를 적용함: $\sum n|a_n| + \sum n|b_n| \leq 1$ 이면 $f = h + \overline{g} \in \mathcal{C}_H^1$ 라고 한다.
• 가우스 수반 hypergeometric 함수 $F(a,b;c;z)$의 적분 표현을 사용하여 코해석적 부분 $g(z)$를 정의하기 위해.
• 항등식 $abF(a+1,b+1;c+1;z) = cF'(a,b;c;z)$를 사용하여 hypergeometric 적분과 계수 표현을 연결하기 위해.
• 기존의 hypergeometric 함수 항등식과 특수 함수 부등식(예: 감마 함수를 포함한 것들)을 적용하여 계수 합의 상한을 구하기 위해.
• 콘볼루션(Hadamard 곱) 기법을 사용하여 단일사상 조화 사상의 특성화를 수행하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조화 함수의 테일러 급수에 대한 어떤 계수 조건이 단위 원판 내에서 가까이 볼록함을 보장하는가?
• RQ2 해석적 사상에서의 항성성 계수 조건을 조화 사상으로 확장할 수 있는가, 특히 완전히 항성적인 사상에 대해서는?
• RQ3 가우스 수반 hypergeometric 함수를 통해 정의된 어떤 조화 다항식 클래스가 단일사상이면서 가까이 볼록한가?
• RQ4 단일사상 조화 사상의 콘볼루션 특성화를 어떻게 활용하여 새로운 예를 구성할 수 있는가?
• RQ5 hypergeometric 적분을 통해 정의된 조화 사상이 $\mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$에 속하기 위한 매개변수 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 계수 조건 $\sum_{n=2}^\infty n|a_n| + \sum_{n=1}^\infty n|b_n| \leq 1$ 은 $f = h + \overline{g} \in \mathcal{C}_H^1$ 를 보장한다. 이는 가까이 볼록한 조화 사상의 클래스이다.
• $f(z) = z + \overline{\alpha \int_0^z F(a,b;c;t)\,dt}$ 이며, $|\alpha| \leq \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ 이면 $c > \mathrm{Re}(a+b)$ 일 때 $f \in \mathcal{C}_H^1$ 이다.
• 사상 $f(z) = z + \overline{\alpha c/(ab) [F(a,b;c;z) - 1]}$ 는 $|\alpha| \leq \frac{\Gamma(c+1)\Gamma(c-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ 이고 $c > \mathrm{Re}(a+b)+1$ 이면 $\mathcal{C}_H^1$ 에 속한다.
• $f(z) = z + \overline{[\alpha c/(ab)] z (F(a,b;c;z) - 1)}$ 이며, $|\alpha| \frac{\Gamma(c+1)\Gamma(c-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \left(1 + \frac{c-a-b-1}{ab}\right) \leq 1 + |\alpha| \frac{c}{ab}$ 이면 $f \in \mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ 이고 완전히 항성적이다.
• $f(z) = z + \overline{\alpha z^k \sum_{n=0}^m \binom{m}{n} \frac{(m-n+1,n)}{(c,n)} \frac{z^{n+1}}{n+1}}$ 이며 $k \in \{0,1\}$ 이면, $c$ 와 $|\alpha|$ 에 대한 충분한 조건이 $\mathcal{C}_H^1$ 또는 $\mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ 에 속함을 보장한다.
• 예시: $m=2$ 이면, $c \geq \frac{24|\alpha| - 3 + \sqrt{-48|\alpha|^2 + 168|\alpha| + 9}}{6(1 - 2|\alpha|)}$ 이고 $0 < |\alpha| < 1/2$ 이면, $f(z) = z + \overline{\alpha (z^2 + \frac{2}{c}z^3 + \frac{2}{c(c+1)} \frac{z^4}{3})} \in \mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ 이다.