[논문 리뷰] Coefficient Estimates for Certain Subclass of Bi Functions Associated the Horadam Polynomials

Adnan Ghazy AlAmoush|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 22.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 호라담 다항식을 사용하여 이중일관 함수의 새로운 부분류를 도입하고, 초기 계수 |a₂| 및 |a₃|에 대한 정밀한 추정치와 페케테-슈에고 부등식을 도출한다. 결과는 기존의 이중일관 함수에 대한 계수 추정치를 일반화하며, 체비셰프 및 피보나치 다항식과 같은 특수한 경우로 확장되며, 다항식 매개변수와 실수 매개변수 η에 따라 명시적인 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

In the present article, our goal is finding estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients |a2| and |a3| for a new class of bi-univalent functions defined by means of the Horadam polynomials. Fekete-Szego inequalities of functions belonging to this subclass are also founded.

연구 동기 및 목표

• 호라담 다항식을 사용하여 이중일관 함수의 새로운 부분류를 정의한다.
• 이 새로운 부분류에서 테일러-매클로린 계수 |a₂| 및 |a₃|에 대한 정밀한 상한을 도출한다.
• 실수 매개변수 η로 매개화된 부분류에 속하는 함수에 대한 페케테-슈에고 부등식을 수립한다.
• 다항식 재귀 구조와 생성함수를 통합하여 기존의 계수 추정치를 일반화한다.
• 특수한 경우로는 체비셰프 및 피보나치 다항식에 대한 기존 결과를 복원할 수 있다.

제안 방법

• 호라담 다항식의 생성함수 Ω(x,z)를 포함하는 순위 조건을 통해 함수 계열 Σ′(x)를 정의한다.
• 초기 값 h₁ = a, h₂ = b x를 갖는 재귀 관계 hₙ(x) = p x hₙ₋₁(x) + q hₙ₋₂(x)를 사용하여 다항식의 구조를 모델링한다.
• f′(z) ≺ Ω(x,z) + 1 − α 및 g′(w) ≺ Ω(x,w) + 1 − α로 표현되는 순위 이론을 적용한다. 여기서 g는 f의 역함수이다.
• f′(z)와 g′(w)의 테일러 전개에서 계수를 매칭하여 a₂, a₃를 다항식 계수 h₂(x), h₃(x) 및 색시 함수 계수와 연결한다.
• 색시 함수 계수의 유계성 (|pᵢ| ≤ 1, |qᵢ| ≤ 1)을 이용하여 계수 부등식을 유도한다.
• 페케테-슈에고 함수기 |a₃ − η a₂²|을 적용하고, 유도된 매개변수 Θ(η,x)의 크기에 따라 사례 분석을 통해 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호라담 다항식을 통해 정의된 이중일관 함수의 새로운 부분류에서 |a₂| 및 |a₃|에 대한 정밀한 상한은 무엇인가?
• RQ2 이 부분류에 대한 페케테-슈에고 부등식은 어떻게 행동하며, 매개변수 η에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 기존의 이중일관 함수에 대한 계수 추정치가 이 일반화된 프레임워크의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ4 호라담 다항식의 생성함수 Ω(x,z)는 계수 추정치를 정의하고 분석하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 체비셰프, 피보나치, 펠 다항식과 같은 다양한 특수한 경우에서 추정치는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• |a₂|의 정밀한 상한은 계수 매칭과 색시 보조정리 조건을 통해 |a₂| ≤ |b x| √|b x| / √|b x² (3b − 4p) − 4a q| 로 유도된다.
• |a₃|의 추정치는 계수 비교와 색시 함수 계수의 유계성에 기반하여 |a₃| ≤ |b x| / 3 + (b x)² / 4 로 도출된다.
• 페케테-슈에고 함수기 |a₃ − η a₂²|에 대한 추정치는 |η − 1|이 임계값 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) 와 비교될 때 두 가지 다른 경우에 따라 달라진다.
• 만약 |η − 1| ≤ 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) 이면, 추정치는 |2 b x| / 3 이다. 그렇지 않으면, |b x|³ |1 − η| / |3 b² x² − 4(p b x² + q a)| 이다.
• a = 1, b = p = 2, q = −1, x → t ∈ (1/2, 1) 일 때, 체비셰프 다항식에 대한 기존 추정치를 복원할 수 있으며, η = 1 일 때 |a₃ − a₂²| ≤ 4t/3 이다.
• 이 프레임워크는 단일 매개변수 다항식 모델을 통해 피보나치, 루카스, 펠, 펠-루카스 다항식과 같은 여러 고전적 수직다항식의 계수 추정치를 통합한다.