[논문 리뷰] Coexisting Stable Equilibria in a Multiple-allele Population Genetics Model

Linlin Su, Colbert L Sesanker외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Evolution and Genetic Dynamics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선택 작용이 작용하는 연속시간, 단일 유전자좌 다형성 모델에서 세 개에서 여섯 개의 앨레르그를 가진 경우의 공존하는 안정적 평형점의 가능한 모든 조합을 분류한다. 세 개의 앨레르그에 대해서는 분석적 방법을, 더 높은 앨레르그 수에 대해서는 광범위한 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여, 세 앨레르그 모델에 대해 14가지 패턴, 네 앨레르그에 대해 117가지, 다섯 앨레르그에 대해 최소 2351가지, 여섯 앨레르그에 대해 60,000개 이상의 패턴을 식별하였으며, 이는 앨레르그 수가 증가함에 따라 패턴 복잡성이 지수적으로 증가함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we find and classify all patterns for a single locus three- and four-allele population genetics models in continuous time. A pattern for a $k$-allele model means all coexisting locally stable equilibria with respect to the flow defined by the equations $\dot{p}_i = p_i(r_i-r), i=1,...,k,$ where $p_i, r_i$ are the frequency and marginal fitness of allele $A_i$, respectively, and $r$ is the mean fitness of the population. It is well known that for the two-allele model there are only three patterns depending on the relative fitness between the homozygotes and the heterozygote. It turns out that for the three-allele model there are 14 patterns and for the four-allele model there are 117 patterns. With the help of computer simulations, we find 2351 patterns for the five-allele model. For the six-allele model, there are more than 60,000 patterns. In addition, for each pattern of the three-allele model, we also determine the asymptotic behavior of solutions of the above system of equations as $t o \infty$. The problem of finding patterns has been studied in the past and it is an important problem because the results can be used to predict the long-term genetic makeup of a population.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 선택 작용 하에서 다형성 인구 유전 모델의 공존하는 안정적 평형점의 가능한 모든 패턴을 분류하는 것.
• 세, 네, 다섯, 여섯 앨레르그 모델에 대해 안정적 평형점의 수와 구성 구조를 규명하는 것.
• t → ∞ 일 때 해의 점근적 행동을 분석하여 장기적 유전적 역학을 이해하는 것.
• 앨레르그 수가 증가함에 따라 패턴 수가 지수적으로 증가하는가를 조사하는 것.
• 장기적 인구 유전적 결과를 예측하는 데 사용할 수 있는 안정적 평형 구성의 종합적 카탈로그를 제공하는 것.

제안 방법

• 연속시간 복제자 시스템을 사용: dp_i/dt = p_i(r_i - r), 여기서 r_i는 국소 적합도이고 r은 평균 적합도이다.
• 선형 안정성 분석을 적용하여 각 평형점에서의 자코비안 행렬을 계산하고 고유값의 부호를 평가하여 안정성을 판단한다.
• 세 앨레르그 모델에 대해 분석적 증명을 활용하여, 14가지 가능한 패턴과 그 분리자( separatrices )를 엄밀히 분류한다.
• r_11 > r_22 > ... > r_kk 를 만족하는 랜덤 적합도 행렬을 사용하여 평형 구성과 안정적 평형점의 수를 시뮬레이션으로 샘플링한다.
• 모든 가능한 평형점들 사이에서 안정적 평형점의 수와 위치를 기반으로 서로 다른 패턴을 식별하고 카탈로그화하기 위한 정렬 알고리즘을 개발한다.
• 다섯 및 여섯 앨레르그 모델에 대해 대규모 시뮬레이션(20개 프로세서에서 최대 4억 회 반복)을 실행하여 고유한 패턴 총수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택 작용 하에서 세 앨레르그 인구 유전 모델에서 공존하는 안정적 평형점의 서로 다른 패턴은 몇 개인가?
• RQ2 네 앨레르그 및 다섯 앨레르그 모델의 안정적 평형점 구성 수는 얼마이며, 앨레르그 수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 컴퓨터 시뮬레이션은 높은 앨레르그 수를 가진 모델의 가능한 모든 패턴을 신뢰성 있게 식별할 수 있는가? 이 과정에서의 계산 복잡도는 어떠한가?
• RQ4 관측된 데이터에 따르면 앨레르그 수가 증가함에 따라 패턴 수가 지수적으로 증가하는가?
• RQ5 각 패턴에서 해의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 세 앨레르그 모델에서 분리자는 상태 공간을 어떻게 나누는가?

주요 결과

• 세 앨레르그 모델에서는 공존하는 안정적 평형점의 정확히 14가지 서로 다른 패턴이 존재하며, 이들의 점근적 역학과 분리자를 완전히 분류하였다.
• 네 앨레르그 모델에서는 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 117가지 서로 다른 안정적 평형점 패턴이 존재함을 확인하였다.
• 다섯 앨레르그 모델에서는 최소 2351가지의 서로 다른 패턴이 식별되었지만, 시뮬레이션의 한계로 인해 몇몇 패턴은 아직 발견되지 않을 수 있다.
• 대규모 병렬 시뮬레이션을 통해 여섯 앨레르그 모델에서는 60,000개 이상의 서로 다른 패턴이 발견되었다.
• 패턴 수가 앨레르그 수에 따라 지수적으로 증가하는 것처럼 보이며, 선택 작용 하에서 유전적 시스템의 복잡성이 급격히 증가함을 시사한다.
• 이 연구는 안정적 평형점이 복잡한 구성으로 공존할 수 있음을 확인하였으며, 전체 패턴 세트는 단순한 우성 규칙이나 Cannings와 Vickers의 부분집합 추측과 같은 이전의 추측으로는 예측할 수 없다는 것을 입증하였다.