[논문 리뷰] Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules

Moharram Aghapournahrand, Kamal Bahmanpour외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 25.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 모듈의 확장 모듈 클래스 FDₙ을 도입하고, 국소 코hom로지 모듈 Hᵗᴵ(M)의 FD₀(또는 minimax) 부분모듈 N에 대해, 하위 국소 코호몰로지 모듈 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M)가 FD₁(또는 약한 Laskerian)일 경우, Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 및 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 모듈이 유한 생성임을 증명한다. 그 결과로 Hᵗᴵ(M)/N의 관련 소수들은 유한하며, 이는 이전의 코프로젝티브성 결과를 일반화하고 국소 코호몰로지 이론에서 코프로젝티브 모듈 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Let I be an ideal of a Noetherian ring R and M be a finitely generated R-module. We introduce the class of extension modules of finitely generated modules by the class of all modules T with dimTn and we show it by FDn where n � 1 is an integer. We prove that for any FD�0(or minimax) submodule N of H t (M) the R-modules HomR(R/I,H t (M)/N) and Ext 1(R/I,H t I (M)/N) are finitely generated, whenever the modules H 0 I (M), H 1 (M), ..., H t 1 I (M) are FD�1 ( or weakly Laskerian). As a conse- quence, it follows that the associated primes of H t I (M)/N are finite. This generalizes the main results of Bahmanpour and Naghipour (4) and (5), Brodmann and Lashgari (7), Khashyarmanesh and Salarian (21) and Hong Quy (18). We also show that the cate- gory FD 1 (R,I)cof of I-cofinite FD�1 R-modules forms an Abelian subcategory of the category of all R-modules.

연구 동기 및 목표

• 국소 코호몰로지에서의 코프로젝티브성 결과를 FDₙ 클래스의 모듈로 확장하기.
• 환 R/I의 몫환 위에서 Hom 및 Ext 모듈의 유한 생성 성질을 조사하기.
• 국소 코호몰로지 몫의 관련 소수들이 유한해지는 조건을 설정하기.
• I-코프로젝티브 FD₁ 모듈의 범주가 아벨 부분범주가 되는 것을 보이기.
• Bahmanpour, Naghipour, Brodmann, Lashgari, Khashyarmanesh, Salarian, Hong Quy의 이전 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 차원 ≤ n인 모듈에 의한 유한 생성 모듈의 확장으로서 FDₙ 클래스를 도입하기.
• Hᵗᴵ(M) 및 그 부분모듈 N이 FD₀일 경우의 구조를 분석하기 위해 t에 대한 귀납법을 사용하기.
• 하위 코호몰로지 모듈이 FD₁ 조건을 만족할 경우, Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 및 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N)의 유한 생성 성질을 적용하기.
• 약한 Laskerian 모듈이 FD₁임을 이용하여 기존의 코프로젝티브성 정리와 연결하기.
• I-코프로젝티브 FD₁ R-모듈의 범주 FD₁(R,I)cof가 부분모듈, 몫, 그리고 핵에 대해 닫혀 있음을 증명함으로써, 이는 아벨 범주임을 보이기.
• 차원 기반 필터링과 모듈 확장 기법을 사용하여 국소 코호몰로지 모듈의 구조를 제어하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N이 FD₀일 경우, H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M)가 FD₁일 때, 모듈 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N)가 유한 생성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 하위 국소 코호몰로지 모듈이 FD₁일 때, Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) 모듈이 유한 생성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 FDₙ 클래스와 국소 코호몰로지에서의 코프로젝티브성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 Hᵗᴵ(M)/N의 관련 소수의 유한성은 하위 코호몰로지 모듈의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 I-코프로젝티브 FD₁ R-모듈의 범주는 모든 R-모듈의 범주의 아벨 부분범주인가?

주요 결과

• H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M)가 FD₁일 경우, Hᵗᴵ(M)의 FD₀ 부분모듈 N에 대해 모듈 Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N)는 유한 생성이다.
• 동일한 조건 하에서 모듈 Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N)는 유한 생성이다.
• 하위 국소 코호몰로지 모듈 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M)가 FD₁일 경우, Hᵗᴵ(M)/N의 관련 소수는 유한하다.
• I-코프로젝티브 FD₁ R-모듈의 범주 FD₁(R,I)cof는 모든 R-모듈의 범주의 아벨 부분범주이다.
• Bahmanpour 및 Naghipour, Brodmann 및 Lashgari, Khashyarmanesh 및 Salarian, Hong Quy의 이전 결과를 일반화한 결과이다.
• FDₙ 클래스는 minimax 및 약한 Laskerian 모듈을 초월하여 코프로젝티브성 결과를 확장하는 자연스러운 프레임워크를 제공한다.