[논문 리뷰] COGARCH: Symbol, Generator and Characteristics

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 08.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률적 공식을 사용하여 COGARCH 과정의 기호, 생성자, 그리고 반마르팅글 특성을 체계적으로 계산하는 방법을 개발한다. 이는 Lévy 삼중항과 모델 매개변수에 따라 기호와 생성자의 명시적 표현을 도출함으로써, 그 무한소적 행동과 확률적 동역학을 직접 특성화할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We describe the technique how to use the symbol in order to calculate the generator and the characteristics of an Itô process. As an example we analyze the COGARCH process which is used to model financial data.

연구 동기 및 목표

• 이토 과정의 기호를 확률적 극한 공식을 사용하여 일반적인 프레임워크로 계산하는 것.
• 이 프레임워크를 특히 Lévy 과정에 의해 구동되는 연속시간 GARCH 모델인 COGARCH 과정에 적용하는 것.
• 기호로부터 COGARCH 과정의 확장된 생성자와 반마르팅글 특성을 도출하는 것.
• 기본 Lévy 삼중항과 모델 매개변수에 따라 기호와 생성자에 대한 명시적이고 해석적으로 다룰 수 있는 표현을 제공하는 것.
• 기호가 COGARCH 과정의 무한소적 행동과 경로 성질을 특성화하는 데 어떻게 활용될 수 있는지 보여주는 것.

제안 방법

• 정지된 과정의 특성함수를 포함하는 극한으로 정의된 기호의 확률적 정의를 사용한다.
• 미세 연속적이고 국소적으로 유계인 미분 특성을 갖는 이토 과정에 대해 기호-생성자 및 기호-특성 간의 대응 관계를 적용한다.
• 기호 프레임워크의 정규성과 적용 가능성을 보장하기 위해 COGARCH 과정을 $(G_t, V_t) = (G_t, -\log(\sigma_t^2))$ 형태의 로그 변동성으로 변환한다.
• Lévy 과정의 특성지수와 변동성 과정의 동역학을 고려하여 극한 표현식을 계산함으로써 기호를 도출한다.
• 기호를 사용하여 반마르팅글 이론에서 알려진 공식을 통해 직접 확장된 생성자와 반마르팅글 특성을 기입한다.
• 이미지 측도 기법을 적용하여 구동 과정의 Lévy 측도를 변환된 상태공간에서 COGARCH 과정의 점프를 지배하는 측도로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 이토 과정의 기호는 그 스토크래틱 미분 방정식과 특성으로부터 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 COGARCH 과정의 명시적 기호는 그 매개변수와 Lévy 삼중항에 대해 어떻게 표현되는가?
• RQ3 기호는 어떻게 하여 COGARCH 과정의 확장된 생성자와 반마르팅글 특성을 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 기호는 COGARCH 과정의 무한소적 행동과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 기호 기반 접근법은 COGARCH와 같은 복잡한 확률적 과정의 분석을 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• COGARCH 과정의 기호는 상태 $(g, v)$ 와 주파수 벡터 $(\xi_1, \xi_2)$ 에 대한 함수로 명시적으로 계산되며, 이는 드리프트, 확산, 점프 성분을 포함한다.
• 과정 $(G_t, \log(\sigma_t^2))$ 의 확장된 생성자 $G$ 는 기호로부터 도출되어 편미분과 Lévy 삼중항에 의해 표현된다.
• 반마르팅글 특성 $B$, $C$, 및 $\nu$ 는 상태에 의존하는 드리프트, 확산, 점프 강도에 대해 명시적으로 주어지며, 점프 측도 $\tilde{N}$ 은 이미지 측도 변환을 통해 정의된다.
• 기호는 도어 타임 반경 $R$ 의 선택과 무관하게 정의되며, 이는 COGARCH 과정에 대해 기호가 잘 정의되어 있음을 확인한다.
• 이 방법은 SDE를 풀거나 특성함수를 계산하는 데 의존하지 않고도 기호로부터 생성자와 특성을 직접 유도할 수 있음을 보여준다.
• 결과는 문헌에 알려진 결과와 일치하며, Rajput과 Rosinski의 접근법을 COGARCH 설정으로 일반화한다.